Русская Википедия:Якобиан

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:К объединению Шаблон:Другое значение Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определённое обобщение производной функции одной переменной на случай отображений из евклидова пространства в себя.

Якобиан выражается как определитель матрицы Якоби — матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения <math>f</math> в точке <math>x</math> обычно обозначается <math>\mathop{\rm Jac}_xf</math>, иногда также следующим образом:

<math>\frac{D(f_1,\dots,f_n)}{D(x_1,\dots,x_n)}</math> ,или <math>\frac{\partial(f_1,\dots,f_n)}{\partial(x_1,\dots,x_n)}</math>

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель. По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.

Введён Якоби (1833, 1841).

Определение

Якобиан векторной функции <math>\mathbf{u}:\R^n\to\R^n, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_n), u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , n</math>, имеющей в некоторой точке <math> x </math> все частные производные первого порядка, определяется как

<math>

\det \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ {\partial u_n \over \partial x_1}(x) & {\partial u_n \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_n \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix}. </math>

Также можно говорить об определителе Якоби или якобиане системы функций <math> u_1, \ldots, u_n </math>.

Геометрическая интерпретация

Если функции <math> \tilde x_1(x_1,\dots,x_n), \ldots, \tilde x_n(x_1,\dots,x_n) </math> определяют преобразование координат <math>x_i \rightarrow \tilde x_j</math>, то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов параллелепипедов, «натянутых» на <math>d\tilde x_1, d\tilde x_2, \dots, d\tilde x_n</math> и на <math>dx_1, dx_2, \dots, dx_n</math> при равенстве произведений <math>d\tilde x_1 d\tilde x_2 \dots d\tilde x_n = dx_1 dx_2 \dots dx_n</math>.

Применение

• Якобиан часто применяется при анализе неявных функций.
• Неравенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием локальной невырожденности преобразования координат, то есть означает, что в окрестности рассматриваемой точки это преобразование является диффеоморфизмом.
• Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат <math>\tilde x_j \rightarrow x_i</math> преобразуется как

  <math>\int\limits_{\tilde \Omega} f(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n) d\tilde x_1 d\tilde x_2 \dots d\tilde x_n =</math>

  <math>= \int\limits_{\Omega} f(\tilde x_1(x_1,x_2,\dots,x_n),\tilde x_2(x_1,x_2,\dots,x_n),\dots,\tilde x_n(x_1,x_2,\dots,x_n)) \bigg|\frac{D(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)}\bigg| dx_1 dx_2 \dots dx_n</math>

  (формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Примеры

Пример 1. Переход элементарной площади <math> \mathrm{d}S = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y</math> от декартовых координат (x, y) к полярным координатам (r, φ):

<math> x = r\, \cos\varphi</math>

<math> y = r\, \sin\varphi.</math>

Матрица Якоби имеет следующий вид

<math>\hat{I}(r, \varphi) =\begin{bmatrix}

\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \\[3pt] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\varphi & -r\, \sin\varphi \\ \sin\varphi & r\, \cos\varphi \end{bmatrix}. </math>

А якобиан перехода от декартовых координат к полярным — есть определитель матрицы Якоби:

<math> J(r,\varphi) = \det \hat{I}(r,\varphi) =\det \begin{bmatrix} \cos\varphi & -r\, \sin\varphi \\ \sin\varphi & r\, \cos\varphi \end{bmatrix} = r. </math>

Таким образом, элемент площади при переходе от декартовых к полярным координатам будет выглядеть следующим образом:

<math> \mathrm{d}S = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y = J(r,\varphi) \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi = r \,\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi </math>

Пример 2. Переход элементарного объёма <math> \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z </math> от декартовых координат (x, y, z) к сферическим координатам (r, θ, φ) :

<math> x = r\, \sin\theta\, \cos\varphi</math>

<math> y = r\, \sin\theta\, \sin\varphi</math>

<math> z = r\, \cos\theta.</math>

Матрица Якоби имеет следующий вид

<math>\hat{I}(r,\theta,\varphi) =\begin{bmatrix}

\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x}{\partial \varphi} \\[3pt] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} & \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} \\[3pt] \dfrac{\partial z}{\partial r} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta} & \dfrac{\partial z}{\partial \varphi} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \sin\theta\, \cos\varphi & r\, \cos\theta\, \cos\varphi & -r\, \sin\theta\, \sin\varphi \\ \sin\theta\, \sin\varphi & r\, \cos\theta\, \sin\varphi & r\, \sin\theta\, \cos\varphi \\ \cos\theta & -r\, \sin\theta & 0 \end{bmatrix}. </math>

А якобиан перехода от декартовых координат к сферическим — есть определитель матрицы Якоби:

<math> J(r,\theta,\varphi) = \det \hat{I}(r,\theta,\varphi) =\det \begin{bmatrix} \sin\theta\, \cos\varphi & r\, \cos\theta\, \cos\varphi & -r\, \sin\theta\, \sin\varphi \\ \sin\theta\, \sin\varphi & r\, \cos\theta\, \sin\varphi & r\, \sin\theta\, \cos\varphi \\ \cos\theta & -r\, \sin\theta & 0 \end{bmatrix} = r^2 \sin\theta. </math>

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

<math> \mathrm{d}V = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}z = J(r,\theta,\varphi) \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = r^2 \sin \theta \, \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi </math>

Свойства

• Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке <math>x</math> равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки <math>x</math> к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
• Якобиан в точке <math>x</math> положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
• Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области <math>\Delta</math>, то отображение <math>\Delta</math> является локальным диффеоморфизмом.

См. также

Применение в физике

• Соотношения Бриджмена (термодинамика) и Соотношения Максвелла (термодинамика) выводятся с применением техники якобианов