Русская Википедия:3j-символ
Шаблон:Нет сносок 3j-символы Вигнера, называемые также 3jm-символами, находят применение в квантовой механике и связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующими формулами:
- <math>
\begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix} \equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 (-m_3) j_1 j_2\rangle. </math>
Обратная связь
Обратная связь между коэффициентами Клебша — Гордана и 3j-символами может быть найдена следующим образом: замечая, что j1 − j2 − m3 это целое число и делая подстановку <math> m_3 \rightarrow -m_3 </math>, получим:
- <math>
\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 j_1 j_2\rangle = (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1} \begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & -m_3
\end{pmatrix}. </math>
Симметрия
Симметрия 3j-символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша — Гордана. 3j-символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов:
- <math>
\begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
j_2 & j_3 & j_1\\ m_2 & m_3 & m_1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
j_3 & j_1 & j_2\\ m_3 & m_1 & m_2
\end{pmatrix}. </math> Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор:
- <math>
\begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix}
j_2 & j_1 & j_3\\ m_2 & m_1 & m_3
\end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix}
j_1 & j_3 & j_2\\ m_1 & m_3 & m_2
\end{pmatrix}. </math> Замена знака квантовых чисел <math>m</math> также даёт дополнительную фазу:
- <math>
\begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\ -m_1 & -m_2 & -m_3
\end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}. </math>
Правила отбора
3j-символ Вигнера не равен нулю только при выполнении следующих условий:
- <math>m_1+m_2+m_3=0,</math>
- <math>j_1+j_2 + j_3</math> — целое,
- <math>|m_i| \leqslant j_i,</math>
- <math>|j_1-j_2| \leqslant j_3 \leqslant j_1+j_2.</math>
Скалярная инвариантность
Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j-символами
- <math>
\sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \sum_{m_3=-j_3}^{j_3}
|j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle |j_3 m_3\rangle
\begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix} </math> инвариантна при вращениях.
Ортогональность
3j-символы удовлетворяют следующим свойствам ортогональности:
- <math>
(2j+1)\sum_{m_1 m_2} \begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j\\ m_1 & m_2 & m
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j'\\ m_1 & m_2 & m'
\end{pmatrix} =\delta_{j j'}\delta_{m m'}, </math>
- <math>
\sum_{j m} (2j+1) \begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j\\ m_1 & m_2 & m
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j\\ m_1' & m_2' & m
\end{pmatrix} =\delta_{m_1 m_1'}\delta_{m_2 m_2'}. </math>
Связь со сферическими гармониками
Через 3j-символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник:
- <math>\int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=
\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}
l_1 & l_2 & l_3\\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}, </math> где <math>l_1</math>, <math>l_2</math> и <math>l_3</math> являются целыми числами.
Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами
<math> \int d{\mathbf{\hat n}} {}_{s_1} Y_{j_1 m_1}({\mathbf{\hat n}}) {}_{s_2} Y_{j_2m_2}({\mathbf{\hat n}}) {}_{s_3} Y_{j_3m_3}({\mathbf{\hat n}})=(-1)^{m_1+s_1} \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\ -s_1 & -s_2 & -s_3
\end{pmatrix}. </math>
Прочие свойства
<math>\sum_m (-1)^{j+m} \begin{pmatrix}
j & j & J\\ m & -m & 0
\end{pmatrix} = \sqrt{\frac{2j+1}{2J+1}}\delta_{J0}. </math>
<math> \frac{1}{2} \int_{-1}^1 dx P_{l_1}(x)P_{l_2}(x)P_{l}(x) = \begin{pmatrix}
l & l_1 & l_2 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}^2. </math>
См. также
Литература
- Собельман И. И.: Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963
- L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
- D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
- A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
- Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.
- E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).
Ссылки
- Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (даёт точный ответ)
- Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3j и 6j-символов (численно)
- калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)
- WIGXJPF расчёт 3j 6j 9j символов C++ и Python (точный ответ через факторизацию и многобайтные целые числа)
