Русская Википедия:4-градиент
4-градие́нт (четыре-градиент, четырёхградиент, 4-на́бла; обозначается Шаблон:Math, <math>\nabla_{\mu}</math> или <math>\partial_{\mu}</math>) в специальной теории относительности — 4-векторный дифференциальный оператор в псевдоевклидовом пространстве Минковского, определяемый как[1]
- <math>\partial_\mu = \nabla_{\mu} = \left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\; \vec{\nabla} \right) = \left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\; \frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\; \right),</math>
где <math>\vec{\nabla} = \left( \frac{\partial}{\partial x},\; \frac{\partial}{\partial y},\; \frac{\partial}{\partial z}\; \right) </math> — 3-вектор градиента. Следует отметить, что выше записаны ковариантные компоненты 4-векторного оператора. Контравариантные компоненты <math>\partial^\mu = \nabla^{\mu} = g^{\mu\nu}\nabla_{\nu} = \left(\frac{\partial}{c\,\partial t},\; -\vec{\nabla} \right),</math> отличающиеся знаком минус перед пространственными компонентами, используются редко, например для вычисления квадрата 4-градиента[1] (здесь и ниже <math>g^{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math> — метрический тензор; используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся координатным индексам).
Если вычислить скалярное произведение Шаблон:Math на самого себя (учитывая, что пространство Минковского псевдоевклидово), то получится скалярный 4-мерный оператор Д’Аламбера:
- <math>\square = D \cdot D = g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu} = \partial^{\nu}\partial_{\nu}= \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} - \Delta = \frac{\partial^2}{c^2\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} \;,</math>
где Δ — оператор Лапласа.
Ещё один способ обозначения 4-градиента — запятая перед координатным индексом. Так, если Шаблон:Math — скаляр, то его 4-градиент
- <math>\partial_{\mu}a = a_{\;,\mu}\;.</math>
Скалярное произведение вектора 4-градиента (слева) на 4-вектор определяет 4-дивергенцию:
- <math>D \cdot A = \partial_{\mu}A^{\mu} = A^{\mu}_{\;,\mu} = \frac{\partial A_t}{c\;\partial t} + \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial A_t}{c\;\partial t} + \nabla \mathbf{A},</math>
где <math>A^{\mu}=\{A^0,A^1,A^2,A^3\}=\{A_t, \mathbf{A}\}</math> — контравариантные компоненты 4-вектора, а <math>\nabla \mathbf{A}</math> — дивергенция.
Символ <math>D_\mu</math> (и иногда <math>\nabla_\mu</math>) используется также как ковариантная производная в криволинейных координатах:
- <math>D_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu_{\alpha\mu} A^\alpha,</math>
где <math>\Gamma^\nu_{\alpha\mu}</math> — символы Кристоффеля. В декартовых координатах евклидового (псевдоевклидового) пространства символы Кристоффеля равны нулю и ковариантная производная совпадает с 4-градиентом. Ковариантная производная скаляра совпадает с 4-градиентом независимо от криволинейности координат:
- <math>D_\mu a = \partial_\mu a.</math>
Ссылки
- S. Hildebrandt, «Analysis II» (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6, 2003.
- L. C. Evans, «Partial differential equations», A.M.Society, Grad. Studies Vol. 19, 1988.
- J. D. Jackson, «Classical Electrodynamics» Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X.
Примечания
