Русская Википедия:4-тензор
4-тензоры, четырёхте́нзоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времени[1].
- Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.
В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:
- <math> A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{j_1 j_2 \ldots j_m}, </math>
причём каждый из индексов принимает четыре значения (обычно от нуля до трёх или от одного до четырёх, то есть <math>i_1 = 0,1,2,3, i_2 = 0,1,2,3</math> итд.
При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются так[2]:
- <math> A_{i_1 i_2 \ldots i_n}^{\prime j_1 j_2 \ldots j_m} = \beta_{j_1 k_1} \beta_{j_2 k_2} \ldots \beta_{j_m k_m} \alpha_{i_1 l_1} \alpha_{i_2 l_2} \ldots \alpha_{i_n l_n} A_{l_1 l_2 \ldots l_n}^{k_1 k_2 \ldots k_m} </math>,
где <math> \alpha_{ij} </math> — матрица поворота в четырёхмерном пространстве-времени (матрица группы Лоренца), а <math> \beta_{ij} </math> — обратная ей.
Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.
Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются различными представлениями одного и того же объекта. Опускание или поднимание индекса проводится с помощью метрического тензора <math> \hat{g} </math>, например для 4-тензора второго ранга
- <math> A^{ij} = g^{jk} A^i_k </math>
Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.
Преимущества четырёхмерной записи
Уравнения теории относительности, электродинамики, и многих современных фундаментальных теорий, включающих их, особенно удобно записывать, используя 4-векторы и 4-тензоры. Главным преимуществом такой записи есть то, что в этой форме уравнения автоматически лоренц-инвариантны, то есть не изменяются при переходе от одной инерциальной системы координат к другой.
Примеры
4-тензоры в ОТО
- метрический тензор (играет определённую техническую роль и в отсутствие гравитационных полей, то есть часто применяется и за рамками ОТО, однако в этом случае он, обычно, имеет очень частный вид лоренцевой метрики).
- тензор кривизны
- тензор Риччи
- тензор энергии-импульса (достаточно широко применим и вне ОТО).
4-тензор электромагнитного поля
Шаблон:Основная статья Соответствующий 4-тензор существует также и для описания электромагнитного поля. Это 4-тензор второго ранга. При его использовании основные уравнения для электромагнитного поля: уравнение Максвелла и уравнение движения заряженной частицы в поле имеют особенно простую и элегантную форму.
Определение через 4-потенциал
4-тензор определяется через производные от 4-потенциала[3]:
- <math> F_{ik} = \frac{\partial A_k}{\partial x^i} - \frac{\partial A_i}{\partial x^k} </math>.
Определение через трёхмерные векторы
4-тензор определяется через обычные трёхмерные составные векторов напряжённости следующим образом:
- <math>
F_{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)
</math>
- <math>
F^{ik} = \left( \begin{matrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{matrix} \right)
</math>
Первая форма — это ковариантный тензор, а вторая форма — это контравариантный тензор.
Сила Лоренца
Записанное в 4-векторной форме уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле приобретает вид
- <math> m c \frac{du^i}{ds} = \frac{q}{c}F^{ik}u_k</math>,
где <math> u^k </math> — 4-скорость, q — электрический заряд частицы, c — скорость света, m — масса. Правая часть этого уравнения — это сила Лоренца.
См. также
- 4-импульс
- 4-скорость
- 4-потенциал
- 4-ток
- Тензор электромагнитного поля
- Тензор энергии-импульса
- Тензор Эйнштейна
- Метрика пространства-времени
Примечания
Внешние ссылки
- ↑ повороты системы отсчёта в котором включают как обычные повороты в трёхмерном пространстве, так и переходы между системами отсчёта, которые движутся с разными скоростями одна относительно другой (преобразования Лоренца).
- ↑ Здесь, как принято в теории относительности, знак суммы опускается — повторение индекса внизу и вверху значит суммирование; см. Соглашение Эйнштейна о суммировании.
- ↑ Формулы на этой странице записаны в системе СГСГ
