Русская Википедия:6j-символ
6j-символы Вигнера введены в обращение Юджином Вигнером в 1940 году и опубликованы в 1965 году.
Понятие 6j-символа возникает при квантовомеханическом сложении трёх моментов импульса, а именно, три угловых момента можно сложить тремя способами (типами связи), получив при этом одно и то же значение результирующего момента <math>j</math> и его проекции <math>m</math>:
- <math>
\begin{matrix}
1)& j_1 + j_2 = j_{12},\quad j_{12} + j_3 = j,\\ 2)& j_2 + j_3 = j_{23},\quad j_{1} + j_{23} = j,\\ 3)& j_1 + j_3 = j_{13},\quad j_{13} + j_2 = j.
\end{matrix}
</math> Переход от одной схемы связи к другой задаётся унитарным преобразованием, связывающим состояния с одинаковыми значениями полного момента <math>j</math> и его проекции <math>m</math>. Коэффициенты этого преобразования отличаются от 6j-символов только нормировочными и фазовыми множителями. Эти множители выбираются таким образом, чтобы 6j-символы обладали наиболее простыми свойствами симметрии.
6j-символы выражаются через W-коэффициенты Рака следующим образом:
- <math>
\begin{Bmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\
j_4 & j_5 & j_6
\end{Bmatrix}
= (-1)^{j_1+j_2+j_4+j_5}W(j_1j_2j_5j_4;j_3j_6)
</math> и обладают большей симметрией, чем W-коэффициенты Рака.
Свойства симметрии
6j-символ инвариантен относительно перестановки любой пары его столбцов:
- <math>
\begin{Bmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\
j_4 & j_5 & j_6
\end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}
j_2 & j_1 & j_3\\
j_5 & j_4 & j_6
\end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}
j_1 & j_3 & j_2\\
j_4 & j_6 & j_5
\end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}
j_3 & j_2 & j_1\\
j_6 & j_5 & j_4
\end{Bmatrix}.
</math> 6j-символ также инвариантен при обмене местами верхних и нижних аргументов в любых двух столбцах:
- <math>
\begin{Bmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\
j_4 & j_5 & j_6
\end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}
j_4 & j_5 & j_3\\
j_1 & j_2 & j_6
\end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}
j_1 & j_5 & j_6\\
j_4 & j_2 & j_3
\end{Bmatrix}
=
\begin{Bmatrix}
j_4 & j_2 & j_6\\
j_1 & j_5 & j_3
\end{Bmatrix}.
</math> 6j-символ
- <math>
\begin{Bmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\
j_4 & j_5 & j_6
\end{Bmatrix}
</math> не равен нулю, только если <math>j_1</math>, <math>j_2</math> и <math>j_3</math> удовлетворяют условию треугольника, то есть,
- <math>
j_1 = |j_2-j_3|, \ldots, j_2 + j_3.
</math> Вместе со свойствами симметрии по отношению к обмену верхних и нижних аргументов это приводит к тому, что условиям треугольника должны удовлетворять также <math>(j_1,j_5,j_6)</math>, <math>(j_4,j_2,j_6)</math>, и <math>(j_4,j_5,j_3)</math>.
Частные случаи
Если <math>j_6 = 0</math>, то выражение для 6j-символа принимает вид
- <math>
\left\{
\begin{matrix}
j_1 & j_2 & j_3\\
j_4 & j_5 & 0
\end{matrix}
\right\}
= \frac{\delta_{j_2,j_4}\delta_{j_1,j_5}}{\sqrt{(2j_1+1)(2j_2+1)}} (-1)^{j_1+j_2+j_3}\Delta(j_1,j_2,j_3),
</math> где функция <math>\Delta(j_1,j_2,j_3)</math> равна 1, если <math>(j_1,j_2,j_3)</math> удовлетворяют условию треугольника, и равна нулю в остальных случаях. Свойства симметрии позволяют найти выражения для случая, когда другой из <math>j</math> равен нулю.
Соотношения ортогональности
6j-символы удовлетворяют следующему соотношению ортогональности:
- <math>
\sum_{j_3} (2j_3+1)
\begin{Bmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\
j_4 & j_5 & j_6
\end{Bmatrix}
\begin{Bmatrix}
j_1 & j_2 & j_3\\
j_4 & j_5 & j_6'
\end{Bmatrix}
= \frac{\delta_{j_6^{}j_6'}}{2j_6+1} \Delta(j_1,j_5,j_6) \Delta(j_4,j_2,j_6).
</math>
Явные выражения
6j-символы могут быть выражены в явном виде различными способами:
- в виде конечных сумм,
- через R-символ (формула Баргмана),
- через обобщённые гипергеометрические функции,
- через 3j-символы,
- в виде квазибиномов,
- в виде интегралов от характеров представлений группы вращений.
В качестве примера приведём выражение для 6j-символов в виде конечных сумм:
- <math>
\begin{Bmatrix}
a & b & c\\
d & e & f
\end{Bmatrix}=(-1)^{a+c+d+f}\frac{\Delta(abc)\Delta(bdf)}{\Delta(aef)\Delta(cde)}\times
</math>
- <math>
\quad\times\sum_n(-1)^n\frac{(a-b+d+e-n)!(-b+c+e+f-n)!(a+c+d+f+1-n)!}{n!(a-b+c-n)!(-b+d+f-n)!(a+e+f+1-n)!(c+d+e+1-n)!}, </math> где суммирование ведётся по всем n, при которых под знаком факториала стоят неотрицательные выражения.
См. также
Литература
- Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963.
- Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.
Ссылки
- Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (даёт точный ответ)
- Онлайн-калькулятор коэффициентов Клебша — Гордана, 3j и 6j-символов (численно)
- калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)
