Русская Википедия:Abc-гипотеза
Шаблон:Mvar-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2].
Доказательство Шаблон:Mvar-гипотезы долгое время было одной из главных нерешённых проблем теории чисел, и остается таковой до сих пор. Статус этой проблемы в настоящее время спорный. Подтвердить или опровергнуть доказательство Мотидзуки, полученное в 2012 году, пока не удалось.
Формулировка
Для любого <math>\varepsilon>0</math> существует постоянная <math>K(\varepsilon)</math>, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>, таких, что <math>a+b=c</math>, выполняется неравенство
- <math>\max\big(|a|, |b|, |c|\big) \leqslant K(\varepsilon) \cdot \big(\operatorname{rad}(abc)\big)^{1+\varepsilon},</math>
где <math>\operatorname{rad}(abc)</math> — радикал числа <math>abc</math>, то есть число, равное произведению простых делителей произведения <math>abc</math>.
Замечания
- Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию натуральные числа <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>. Тогда неравенство сводится к следующему:
- <math>c \leqslant K(\varepsilon) \cdot \big(\operatorname{rad}(abc)\big)^{1+\varepsilon}.</math>
- Условие <math>\varepsilon > 0</math> необходимо. Для любого <math>K</math> существует тройка взаимно простых чисел <math>a, b, c = a + b</math> таких, что <math>c > K \cdot \operatorname{rad}(abc)</math>. Например тройка вида <math>a = 1, b = 2^{2 \cdot 3^n} - 1, c = 2^{2 \cdot 3^n}</math>, где <math>K < 3^{n-1}</math>.
Следствия
Гипотеза Била и Великая теорема Ферма
Из справедливости Шаблон:Mvar-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших <math>z</math>, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней[3].
Гипотезы Пиллаи и Каталана
Из справедливости Шаблон:Mvar-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.
Доказательство Мотидзуки
В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать Шаблон:Mvar-гипотезу[4][5]. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов[6].
Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы[7]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах[8]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки[9].
Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным в научном сообществе. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств[9][10] (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).
В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с Шаблон:Mvar-гипотезой и работами Мотидзуки — объявили, что в ключевом для доказательства Шаблон:Mvar-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка[11][6]. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения[12].
На 2020 год доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе, математическое сообщество не убеждено в его верности, несмотря на принятие доказательства к публикации в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS, «Публикации Научно-исследовательского института математических наук») Научно-исследовательского института математических наук при Киотском университете (Япония) — это институт, в котором работает Мотидзуки[13][14].
В марте 2021 года доказательство Мотидзуки было опубликовано в PRIMS[15].
См. также
Примечания
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- Лекции про ABC-гипотезу: Лекция 1, Лекция 2, Лекция 3, Лекция 4 (by Keith Conrad).
- Р. Борчердс, Шаблон:YouTube
Литература
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Cite news
- ↑ Mochizuki, Shinichi (August 2012). Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters, Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation, Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice., Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations, доступны на странице http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Шаблон:Wayback
- ↑ 6,0 6,1 Шаблон:Публикация
- ↑ IUTeich Verification Report 2013-12 Шаблон:Wayback, IUTeich Verification Report 2014-12 Шаблон:Wayback
- ↑ «Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики. Шаблон:Wayback // Lenta.ru, 2015-10-08
- ↑ 9,0 9,1 Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web Перевод: Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite news Перевод: Титаны от математики схлестнулись над эпичным доказательством abc-гипотезы Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite web
Шаблон:Cite web - ↑ Журнал Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences несмотря ни на что опубликует работу математика Синъити Мотидзуки с доказательством гипотезы Эстерле — Массера Шаблон:Wayback // Лента.Ру, 3 апреля 2020
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
