Русская Википедия:CKM-матрица

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Ароматы и квантовые числа

CKM-ма́трица, ма́трица Каби́ббо — Кобая́си — Маска́вы (ККМ-матрица, матрица смешивания кварков, иногда раньше называлась KM-матрица) в Стандартной модели физики элементарных частиц — унитарная матрица, которая содержит информацию о силе слабых взаимодействий, изменяющих аромат. Технически, она определяет преобразование между двумя базисами квантовых состояний: состояниями свободно движущихся кварков (то есть их массовыми состояниями) и состояниями кварков, участвующих в слабых взаимодействиях. Она важна также для понимания нарушения CP-симметрии. Точное математическое определение этой матрицы дано в статье по основам Стандартной модели. Эта матрица была предложена для трёх поколений кварков японскими физиками Макото Кобаяси и Тосихидэ Маскава, которые добавили одно поколение к матрице, ранее предложенной Николой Кабиббо.

Матрица

<math>\begin{bmatrix} V_{ud} & V_{us} & V_{ub} \\ V_{cd} & V_{cs} & V_{cb} \\ V_{td} & V_{ts} & V_{tb} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left| d \right \rangle \\ \left| s \right \rangle \\ \left| b \right \rangle \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left| d' \right \rangle \\ \left| s' \right \rangle \\ \left| b' \right \rangle \end{bmatrix}.</math>

Слева мы видим CKM-матрицу вместе с вектором сильных собственных состояний кварков, а справа имеем слабые собственные состояния кварков. ККМ-матрица описывает вероятность перехода от одного кварка Шаблон:Math к другому кварку Шаблон:Math. Эта вероятность пропорциональна <math>\left| V_{qq'} \right| ^2.</math>

Величины значений в матрице были установлены экспериментально и равны приблизительно[1]:

<math>

\begin{bmatrix} |V_{ud}| & |V_{us}| & |V_{ub}| \\ |V_{cd}| & |V_{cs}| & |V_{cb}| \\ |V_{td}| & |V_{ts}| & |V_{tb}| \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0{,}97427 \pm 0{,}00015 & 0{,}22534 \pm 0{,}00065 & 0{,}00351^{+0{,}00015}_{-0{,}00014} \\ 0{,}22520 \pm 0{,}00065 & 0{,}97344 \pm 0{,}00016 & 0{,}0412^{+0{,}0011}_{-0{,}0005} \\ 0{,}00867^{+0{,}00029}_{-0{,}00031} & 0{,}0404^{+0{,}0011}_{-0{,}0005} & 0{,}999146^{+0{,}000021}_{-0{,}000046} \end{bmatrix}. </math>

Таким образом, CKM-матрица довольно близка к единичной матрице.

Подсчёт

Чтобы идти дальше, необходимо подсчитать количество параметров в этой матрице Шаблон:Math, которые проявляются в экспериментах и, следовательно, физически важны. Если есть Шаблон:Math поколений кварков (Шаблон:Math ароматов), то

  1. комплексная матрица Шаблон:Math содержит Шаблон:Math действительных чисел.
  2. Ограничивающее условие унитарности Шаблон:Math. Следовательно, для диагональных компонент (Шаблон:Math) существует Шаблон:Math ограничений, а для остающихся компонент — Шаблон:Math. Количество независимых действительных чисел в унитарной матрице равно Шаблон:Math.
  3. Одна фаза может быть поглощена каждым кварковым полем. Общая фаза ненаблюдаема. Следовательно, количество независимых чисел уменьшается на Шаблон:Math, то есть общее количество свободных переменных равно Шаблон:Math.
  4. Из них Шаблон:Math — углы вращения, называемые кварковыми углами смешивания.
  5. Оставшиеся Шаблон:Math являются комплексными фазами, вызывающими нарушение CP-инвариантности.

Если число поколений кварков Шаблон:Math (исторически такой была первая версия CKM-матрицы, когда были известны только два поколения), есть только один параметр — угол смешивания между двумя поколениями кварков. Он называется угол Кабиббо в честь Николы Кабиббо.

В Стандартной модели Шаблон:Math, следовательно, есть три угла смешивания и одна комплексная фаза, нарушающая CP-симметрию.

Наблюдения и предсказания

Идея Кабиббо появилась из-за необходимости объяснения двух наблюдаемых явлений:

  1. переходы Шаблон:Math и Шаблон:Math, Шаблон:Math имели похожие амплитуды.
  2. переходы с изменением странности Шаблон:Math имели амплитуды, равные 1/4 от амплитуд переходов без изменения странности (Шаблон:Math).

Решение Кабиббо состояло в постулировании универсальности слабых переходов, чтобы решить проблему 1, и угла смешивания Шаблон:Math (теперь называемого углом Кабиббо) между [[d-кварк|Шаблон:Math-]] и [[s-кварк|Шаблон:Math-кварками]], чтобы решить проблему 2.

Для двух поколений кварков нет нарушающей CP-симметрию фазы, как было показано выше. Поскольку нарушение CP-симметрии наблюдалось в распадах нейтральных каонов уже в 1964 году, появление немногим позже Стандартной модели было ясным сигналом о третьем поколении кварков, как было указано в 1973 году Кобаяси и Маскавой. Открытие [[b-кварк|Шаблон:Math-кварка]] в Фермилабе (группой Леона Ледермана) в 1977 году немедленно привело к началу поисков ещё одного кварка третьего поколения — [[t-кварк|Шаблон:Math-кварка]].

Универсальность слабых переходов

Ограничение по унитарности CKM-матрицы для диагональных компонент может быть записано как

<math>\sum_j |V_{ij}|^2 = 1</math>

для всех поколений Шаблон:Math. Это предполагает, что сумма всех связей кварка [[u-кварк|Шаблон:Math]]-типа со всеми кварками [[d-кварк|Шаблон:Math]]-типа одинакова для всех поколений. Никола Кабиббо в 1967 году назвал это соотношение слабой универсальностью. Теоретически, это следствие того факта, что все дублеты SU(2) взаимодействуют с векторными бозонами слабых взаимодействий с одинаковой константой связи. Это подтверждено во многих экспериментах.

Треугольники унитарности

Оставшиеся ограничения по унитарности ККМ-матрицы могут быть записаны в форме

<math>\sum_k V_{ik}V^*_{jk} = 0.</math>

Для любых фиксированных и различных Шаблон:Math и Шаблон:Math это ограничение накладывается на три комплексных числа, одно для каждого Шаблон:Math, что означает, что эти числа являются вершинами треугольника на комплексной плоскости. Существует шесть вариантов Шаблон:Math и Шаблон:Math, поэтому и шесть таких треугольников, каждый из которых называется треугольником унитарности. Их формы могут быть очень разными, но они все имеют одинаковую площадь, которую можно отнести к нарушающей CP-симметрию фазе. Площадь исчезает для специфических параметров в Стандартной модели, для которых нет нарушения CP-симметрии. Ориентация треугольников зависит от фаз кварковых полей.

Поскольку как три стороны, как и три угла каждого треугольника могут быть измерены в прямых экспериментах, проводится серия тестов для проверки замкнутости треугольников. Это задача для таких экспериментов, как японский BELLE, калифорнийский BaBar и эксперимент LHCb проекта LHC.

Параметризации

Для полного задания CKM-матрицы требуется четыре независимых параметра. Было предложено множество параметризаций, но наиболее популярны три.

KM-параметры

Изначально параметризация Кобаяси и Маскавы использовала три угла (Шаблон:Math) и фазу CP-нарушения (Шаблон:Math).

<math>\begin{bmatrix} c_1 & -s_1 c_3 & -s_1 s_3 \\
s_1 c_2 & c_1 c_2 c_3 - s_2 s_3 e^{i\delta} &  c_1 c_2 s_3 + s_2 c_3 e^{i\delta}\\
s_1 s_2 & c_1 s_2 c_3 + c_2 s_3 e^{i\delta} &  c_1 s_2 s_3 - c_2 c_3 e^{i\delta} \end{bmatrix}, </math>

где Шаблон:Math — угол Кабиббо, Шаблон:Math и Шаблон:Math — соответственно косинус и синус угла Шаблон:Math.

«Стандартные» параметры

«Стандартная» параметризация CKM-матрицы использует три угла Эйлера (Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math) и фазу CP-нарушения (Шаблон:Math)[2]. Смешивание между поколениями кварков Шаблон:Math и Шаблон:Math исчезает, если угол смешивания Шаблон:Math стремится к нулю. Здесь Шаблон:Math — угол Кабиббо, Шаблон:Math и Шаблон:Math — соответственно косинус и синус угла Шаблон:Math.

<math> \begin{align} & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & c_{23} & s_{23} \\ 0 & -s_{23} & c_{23} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} c_{13} & 0 & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -s_{13}e^{i\delta_{13}} & 0 & c_{13} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} c_{12} & s_{12} & 0 \\ -s_{12} & c_{12} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12} c_{13} & s_{13}e^{-i\delta_{13}} \\
-s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & s_{23}c_{13}\\
s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta_{13}} & c_{23}c_{13} \end{bmatrix}. \end{align} </math>

На текущий момент наиболее точные значения стандартных параметров[3][4]:

θ12 = Шаблон:Val°,
θ13 = Шаблон:Val°,
θ23 = Шаблон:Val°,
δ13 = Шаблон:Val радиана.

Параметры Вольфенштейна

Третья параметризация CKM-матрицы, введёна Линкольном Вольфенштейном, использует параметры Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math[5]. Параметры Вольфенштейна являются числами порядка единицы и связаны со «стандартной» параметризацией следующими соотношениями:

Шаблон:Math,
Шаблон:Math,
Шаблон:Math.

Параметризация Вольфенштейна CKM-матрицы является аппроксимацией «стандартной» параметризации. Если ограничиться членами разложения до порядка Шаблон:Math, она может быть представлена следующим образом:

<math>\begin{bmatrix} 1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta) \\
-\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2 \\
A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1  \end{bmatrix}. </math>

CP-нарушение может быть определено измерением Шаблон:Math.

Используя значения из предыдущего подраздела, можно получить следующие значения параметров Вольфенштейна[4]:

Шаблон:Math = Шаблон:Val,
Шаблон:Math = Шаблон:Val,
Шаблон:Math = Шаблон:Val,
Шаблон:Math = Шаблон:Val.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Статья
  2. ↑ Шаблон:Статья
  3. ↑ Значения получены из значений параметров Вольфенштейна из издания Review of Particle Physics 2008 года.
  4. ↑ 4,0 4,1 Шаблон:Статья
  5. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:CKM-матрица&oldid=8605703