Русская Википедия:CW-комплекс

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

CW-комплекс — тип топологического пространства с дополнительной структурой (разбиением на клетки), введённый Уайтхедом для удовлетворения нужд теории гомотопий. В литературе на русском языке употребляются также названия клеточное пространство, клеточное разбиение и клеточный комплекс. Класс клеточных комплексов является более широким, чем класс симплициальных комплексов, но в то же время сохраняет комбинаторную природу, которая позволяет производить эффективные вычисления.

Определения

Открытая n-мерная клетка — топологическое пространство, гомеоморфное открытому n-мерному шару (в частности, нульмерная клетка — это пространство-синглетон). CW-комплекс — хаусдорфово топологическое пространство X, представленное в виде объединения открытых клеток таким образом, что для каждой открытой n-мерной клетки существует непрерывное отображение f из замкнутого n-мерного шара в X, ограничение которого на внутренность шара является гомеоморфизмом на эту клетку (характеристическое отображение). При этом предполагаются выполненными два свойства:

• (С) Граница каждой клетки содержится в объединении конечного числа клеток меньших размерностей;
• (W) Подмножество пространства X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с замыканием каждой клетки.

Обозначения C и W происходят от английских слов closure-finiteness и weak topology.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Размерность клеточного комплекса определяется как верхняя грань размерностей его клеток. n-й остов клеточного комплекса — это объединение всех его клеток, размерность которых не превосходит n, стандартные обозначения для n-го остова клеточного комплекса X — Xⁿ или sk_n X. Подмножество клеточного комплекса называется подкомплексом, если оно замкнуто и состоит из целых клеток; В частности, любой остов комплекса является его подкомплексом.

Любой CW-комплекс можно построить индуктивно, посредством следующей процедуры:Шаблон:Sfn

• начинаем с дискретного множества <math>X^0</math>, точки которого считаем нульмерными клетками;
• по индукции образуем n-й остов из (n − 1)-го, приклеивая к нему n-мерные клетки посредством произвольных непрерывных отображений <math>\varphi_\alpha: S^{n-1}\to X^{n-1}.</math> Другими словами, пространство <math>X^n</math> — это факторпространство несвязного объединения <math>X^{n-1}</math> и набора шаров <math>D_\alpha</math> по отношению эквивалентности <math>x\sim \varphi_\alpha(x),</math> если <math>x\in\partial D_\alpha.</math>
• Можно закончить индуктивный процесс на конечном этапе, положив <math>X=X^n,</math> либо продолжать его бесконечно, положив <math>X=\varinjlim X_i</math>. Топология прямого предела совпадает со слабой топологией: подмножество <math>\varinjlim X_i</math> замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его пересечение с каждым <math>X_i.</math>

Примеры

• Пространство <math>\{re^{2\pi i \theta} : 0 \leq r \leq 1, \theta \in \mathbb Q\} \subset \mathbb C</math> гомотопически эквивалентно CW-комплексу (так как оно стягиваемо), но на нём невозможно ввести структуру CW-комплекса (поскольку все CW-комплексы являются локально стягиваемыми).
• Гавайская серьга — пример топологического пространства, гомотопически не эквивалентного никакому CW-комплексу.
• Любой многогранник естественным образом наделяется структурой CW-комплекса, а граф — одномерного CW-комплекса.
• n-мерная сфера допускает клеточную структуру с одной нульмерной клеткой и одной n-мерной клеткой (так как n-мерная сфера гомеоморфна факторпространству n-мерного шара по его границе). Другое клеточное разбиение использует тот факт, что вложение «экватора» <math>S^{n-1}\to S^n</math> делит сферу на две n-мерных клетки (верхнюю и нижнюю полусферы). По индукции, это позволяет получить клеточное разбиение n-мерной сферы с двумя клетками в каждой размерности от 0 до n, а применение конструкции прямого предела позволяет получить клеточное разбиение сферы <math>S^\infty</math>.
• Шаблон:Нп5 <math>\mathbb{R}\mathrm{P}^n</math> допускает клеточную структуру с одной клеткой в каждой размерности, а <math>\mathbb{C}\mathrm{P}^n</math> — с одной клеткой в каждой чётной размерности.
• Грассманиан допускает разбиение на клетки, называемые клетками Шуберта.
• Для любого компактного гладкого многообразия можно построить гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс (например, с помощью функции Морса).

Клеточные гомологии

Сингулярные гомологии CW-комплекса можно вычислять с помощью клеточных гомологий, то есть гомологий клеточного цепного комплекса

<math>\cdots \to {H_{n + 1}}(X^{n + 1},X^{n}) \to {H_{n}}(X^{n},X^{n - 1}) \to {H_{n - 1}}(X^{n - 1},X^{n - 2}) \to \cdots,</math>

где <math>X^{-1}</math> определяется как пустое множество.

Группа <math>{H_{n}}(X^{n},X^{n - 1})</math> является свободной абелевой группой, образующие которой могут быть отождествлены с ориентированными n-мерными клетками CW-комплекса. Граничные отображения строятся следующим образом. Пусть <math> e_{n}^{\alpha} </math> — произвольная n-мерная клетка <math>X,</math> <math> \chi_{n}^{\alpha}: \partial e_{n}^{\alpha} \cong S^{n - 1} \to X^{n-1} </math> — ограничение её характеристического отображения на границу, а <math> e_{n - 1}^{\beta} </math> — произвольная (n − 1)-мерная клетка. Рассмотрим композицию

<math>

\chi_{n}^{\alpha \beta}: S^{n - 1} \, \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \, \partial e_{n}^{\alpha} \, \stackrel{\chi_{n}^{\alpha}}{\longrightarrow} \, X^{n - 1} \, \stackrel{q}{\longrightarrow} \, X^{n - 1} / \left( X^{n - 1} \setminus e_{n - 1}^{\beta} \right) \, \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \, S^{n - 1}, </math>

где первое отображение отождествляет <math> S^{n - 1} </math> с <math>\partial e_n^\alpha,</math> отображение <math>q</math> — факторизация, а последнее отображение отождествляет <math> X^{n - 1} / \left( X^{n - 1} \setminus e_{n - 1}^{\beta} \right) </math> с <math> S^{n - 1} </math> при помощи характеристического отображения клетки <math> e_{n - 1}^{\beta} </math>. Тогда граничное отображение

<math>d_{n}: {H_{n}}(X_{n},X_{n - 1}) \to {H_{n - 1}}(X_{n - 1},X_{n - 2})</math>

задаётся формулой

<math>{d_{n}}(e_{n}^{\alpha}) = \sum_{\beta} \deg \left( \chi_{n}^{\alpha \beta} \right) e_{n - 1}^{\beta},</math>

где <math> \deg \left( \chi_{n}^{\alpha \beta} \right) </math> — степень отображения <math> \chi_{n}^{\alpha \beta} </math> и сумма берётся по всем (n − 1)-мерным клеткам <math> X </math>.

В частности, если в клеточном комплексе нет двух клеток, размерности которых отличаются на единицу, то все граничные отображения зануляются и группы гомологий являются свободными. Например, <math>{H_{n}}(\mathbb{C}\mathrm{P}^n,\mathbb Z) = \mathbb Z</math> для чётных <math>n</math> и нулю для нечётных.

Свойства

Гомотопическая категория CW-комплексов, по мнению ряда экспертов, является лучшим вариантом для построения теории гомотопии. Одно из «хороших» свойств CW-комплексов — Шаблон:Нп5 (слабая гомотопическая эквивалентность между CW-комплексами является гомотопической эквивалентностью). Для любого топологического пространства существует слабо гомотопически эквивалентный ему CW-комплекс.Шаблон:Sfn Другой полезный результат состоит в том, что представимые функторы в гомотопической категории CW-комплексов обладают простой характеризацией в категорных терминах (Шаблон:Нп5). Цилиндр, конус и.надстройка над CW-комплексом обладают естественной клеточной структурой.

С другой стороны, произведение CW-комплексов с естественным разбиением на клетки не всегда является CW-комплексом — топология произведения может не совпадать со слабой топологией, если оба комплекса не являются локально компактными. Однако топология произведения в категории компактно порождённых пространств совпадает со слабой топологией и всегда задаёт CW-комплекс. Пространство функций Hom(X, Y) с компактно-открытой топологией, вообще говоря, не является CW-комплексом, однако, согласно теореме Джона Милнора, гомотопически эквивалентно CW-комплексу при условии компактности X.

Накрытие CW-комплекса X может быть наделено структурой CW-комплекса таким образом, что его клетки гомеоморфно отображаются на клетки X.

Конечные CW-комплексы (комплексы с конечным числом клеток) компактны. Любое компактное подмножество CW-комплекса содержится в конечном подкомплексе.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга