Русская Википедия:D-матрица Вигнера
<math>D</math>-матрица Вигнера представляет собой матрицу неприводимого представления групп SU (2) и SO (3). Комплексное сопряжение <math>D</math>-матрицы является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жёстких ротаторов. Матрица была введена в 1927 году Юджином Вигнером.
Определение D-матрицы Вигнера
Пусть <math>J_x</math>, <math>J_y</math>, <math>J_z</math> образующие алгебры Ли <math>\mathrm{SU}(2)</math> и <math>\mathrm{SO}(3)</math>. В квантовой механике эти три оператора являются компонентами векторного оператора известного как угловой момент. Примерами могут служить момент электрона в атоме, электронный спин и момент количества движения жёсткого ротатора. Во всех случаях три оператора удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям
- <math>[J_x,\;J_y] = i J_z,\quad [J_z,\;J_x] = i J_y,\quad [J_y,\;J_z] = i J_x, </math>
где <math>i</math> это чисто мнимое число и постоянная Планка <math>\hbar</math> был задана равной единице. Оператор
- <math>J^2 = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 </math>
является оператором Казимира из <math>\mathrm{SU}(2)</math> (или <math>\mathrm{SO}(3)</math>, в зависимости от обстоятельств). Он может быть диагонализирован вместе с <math>J_z</math> (Выбор этого оператора определяется соглашением), который коммутирует с <math>J^ 2</math>. То есть, можно показать, что существует полный набор кетов с
- <math>J^2 |jm\rangle = j(j+1) |jm\rangle,\quad J_z |jm\rangle = m |jm\rangle,</math>
где <math>j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots</math> и <math>m=-j,\ -j+1, \ldots,\ j</math>. Для <math>\mathrm{SO}(3)</math> квантовое число <math>j</math> является целым.
Оператор поворота можно записать в виде
- <math>\mathcal{R}(\alpha,\;\beta,\;\gamma) = e^{-i\gamma J_z}e^{-i\beta J_y}e^{-i\alpha J_z},</math>
где <math>\alpha,\ \beta,\ \gamma</math> — углы Эйлера.
<math>D</math>-матрица Вигнера представляет собой квадратную матрицу размерности <math>2j+1</math> с общим элементом
- <math> D^j_{m'm}(\alpha,\;\beta,\;\gamma) \equiv
\langle jm' | \mathcal{R}(\alpha,\beta,\gamma)| jm \rangle =
e^{-im'\gamma } d^j_{m'm}(\beta)e^{-i m\alpha}.</math>
Матрица с общим элементом
- <math>d^j_{m'm}(\beta)= \langle jm' |e^{-i\beta J_y} | jm \rangle</math>
известна как малая <math>d</math>-матрица Вигнера.
Список элементов d-матрицы
для <math>j=1/2</math>
- <math>d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta/2)</math>
- <math>d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta/2)</math>
для <math>j=1</math>
- <math>d_{1,\;1}^{1} = \frac{1+\cos \theta}{2}</math>
- <math>d_{1,\;0}^{1} = \frac{-\sin \theta}{\sqrt{2}}</math>
- <math>d_{1,\;-1}^{1} = \frac{1-\cos \theta}{2}</math>
- <math>d_{0,\;0}^{1} = \cos \theta</math>
для <math>j=3/2</math>
- <math>d_{3/2,\;3/2}^{3/2} = \frac{1+\cos \theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}</math>
- <math>d_{3/2,\;1/2}^{3/2} = -\sqrt{3} \frac{1+\cos \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}</math>
- <math>d_{3/2,\;-1/2}^{3/2} = \sqrt{3} \frac{1-\cos \theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}</math>
- <math>d_{3/2,\;-3/2}^{3/2} = - \frac{1-\cos \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}</math>
- <math>d_{1/2,\;1/2}^{3/2} = \frac{3\cos \theta - 1}{2} \cos \frac{\theta}{2}</math>
- <math>d_{1/2,\;-1/2}^{3/2} = - \frac{3\cos \theta + 1}{2} \sin \frac{\theta}{2}</math>
для <math>j=2</math>[1]
- <math>d_{2,\;2}^{2} = \frac{1}{4}\left(1 +\cos \theta\right)^2</math>
- <math>d_{2,\;1}^{2} = -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 + \cos \theta\right)</math>
- <math>d_{2,\;0}^{2} = \sqrt{\frac{3}{8}}\sin^2 \theta</math>
- <math>d_{2,\;-1}^{2} = -\frac{1}{2}\sin \theta \left(1 - \cos \theta\right)</math>
- <math>d_{2,\;-2}^{2} = \frac{1}{4}\left(1 -\cos \theta\right)^2</math>
- <math>d_{1,\;1}^{2} = \frac{1}{2}\left(2\cos^2\theta + \cos \theta-1 \right)</math>
- <math>d_{1,\;0}^{2} = -\sqrt{\frac{3}{8}} \sin 2 \theta</math>
- <math>d_{1,\;-1}^{2} = \frac{1}{2}\left(- 2\cos^2\theta + \cos \theta +1 \right)</math>
- <math>d_{0,\;0}^{2} = \frac{1}{2} \left(3 \cos^2 \theta - 1\right)</math>
Элементы <math>d</math>-матрицы Вигнера с обратными нижними индексами находятся следующим соотношением:
- <math>d_{m',\;m}^j = (-1)^{m-m'}d_{m,\; m'}^j = d_{-m,\;-m'}^j</math>.
См. также
Примечания
