Русская Википедия:E (число)

	Иррациональные числа; Шаблон:Вещественные константы
Система счисления	Оценка числа <math>e</math>
Двоичная	10,101101111110000101010001011001…
Десятичная	2,7182818284590452353602874713527…
Шестнадцатеричная	2,B7E151628AED2A6A…
Шестидесятеричная	2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Рациональные приближения	8/3; 11/4; 19/7; 87/32; 106/39; 193/71; 1264/465; 2721/1001; 23225/8544 (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …] (Эта непрерывная дробь не периодическая. Записана в линейной нотации)

Площадь области под графиком <math>y=\frac{1}{x}</math> на отрезке <math>1 \leq x \leq e</math> равна 1

Файл:Exp derivative at 0.svg

<math>e</math> — это такое число, для которого производная (тангенс угла наклона касательной) показательной функции f (x) = e^x (синяя кривая) в точке x = 0 равна 1 (касательная — красная линия). Для сравнения показаны функция f (x) = 2^x (пунктирная кривая) и f (x) = 4^x (штриховая кривая); производные которых не равны 1 при x = 0.

<math>e</math> — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число <math>e</math> называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Файл:Xth root of x.svg

Максимум функции <math display="inline">x^{\frac{1}{x}}</math> достигается при <math> x=e </math>.

Число <math>e</math> играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Поскольку функция экспоненты <math>e^x</math> интегрируется и дифференцируется «сама в себя», логарифмы именно по основанию <math>e</math> принимаются как натуральные.

Способы определения

Число <math>e</math> может быть определено несколькими способами.

Через предел:
<math>e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> (второй замечательный предел).

<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math> (это следует из формулы Муавра — Стирлинга).
Как сумма ряда:
<math>e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}</math> или <math>{\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}</math>.
Как единственное число <math>a</math>, для которого выполняется
<math>\int\limits_{1}^{a} \frac{dx}{x} = 1.</math>
Как единственное положительное число <math>a</math>, для которого верно
<math>\frac d {dx} a^x = a^x.</math>

<math>\int\limits_{1}^{a} \frac{dx}{x} = 1.</math>

Свойства

Шаблон:Нет ссылок в разделе

Производная экспоненты равна самой экспоненте:<math> \frac{de^x }{dx} = e^x.</math>
Это свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, общим решением дифференциального уравнения <math>\frac{df(x)}{dx} = f(x)</math> являются функции <math>f(x) = c e^x</math>, где <math>c</math> — произвольная константа.
Число <math>e</math> иррационально. Доказательство иррациональности является элементарным.

Доказательство иррациональности

Предположим, что <math>e</math> рационально. Тогда <math>e=p/q</math>, где <math>p</math> — целое, а <math>q</math> — натуральное.

Следовательно

Умножая обе части уравнения на <math>(q-1)!</math>, получаем

<math>p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}</math>

Переносим <math>\sum_{n=0}^q{q!\over n!}</math> в левую часть:

<math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!}</math>

Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.

С другой стороны,

<math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} < \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m}</math>

Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем:

<math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} < {1\over q}</math>

Поскольку <math>q\ge 1</math>,

<math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} < 1</math>

Получаем противоречие.

Число <math>e</math> трансцендентно. Впервые это было доказано в 1873 году Шарлем Эрмитом^[1]. Трансцендентность числа <math>e</math> следует из теоремы Линдемана.
Предполагается, что <math>e</math> — нормальное число, то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана.
Число <math>e</math> является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
<math>e^{ix} = \cos(x) + i\cdot\sin(x)</math>, см. формула Эйлера, в частности
- <math>e^{i\pi} + 1 = 0.</math>
- <math> e=\cos(i) - i \sin(i)=\sinh(1) + \cosh(1) </math>
Формула, связывающая числа <math>e</math> и <math>\pi</math>, т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса
<math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}</math>
Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
<math>e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n.</math>
Другие связи между константами:
<math>\frac{\pi}{e}=2 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left (\frac{2k+1}{2k-1} \right )^{2k-1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k} </math>

<math>\pi \cdot e = 6 \prod \limits_{k=1}^{\infty}\left ( \frac{2k+3}{2k+1}\right )^{2k+1} \left (\frac{k}{k+1} \right )^{2k}</math>
Формула, найденная Сринивасой Рамануджаном:
<math>1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \ldots +

\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{1+\displaystyle\frac{3}{1+\displaystyle\frac{4}{1+\displaystyle\frac{5}{1+\ldots}}}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}</math>

Число <math>e</math> разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в^[2]):
<math>e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots]</math>, то есть

<math>e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}} </math>

или в эквивалентной записи:

<math>e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}} </math>
Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать следующее разложение:
<math>\frac{e+1}{e-1}=2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{\ldots}}}}</math>
<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.</math>
Представление Каталана:
<math>e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdot\sqrt[16]{\frac{18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}\cdots</math>
Представление через произведение:
<math> e=\sqrt{3} \cdot \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{k-\frac 12}}{\left (2k+1 \right )^{2k}}</math>
Представление через числа Белла:
<math>e = \frac{1}{B_n}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}</math>
Мера иррациональности числа <math>e</math> равна <math>2</math> (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел)^[3].

История

Данное число раньше иногда называли неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа <math>x</math> был равен <math>10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right)</math>.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык (с латыни) вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода. Он обнаружил, что если исходная сумма <math>\$1</math> и начисляется <math>100\%</math> годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет <math>\$2</math>. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то <math>\$1</math> умножается на <math>1{,}5</math> дважды, получая <math>\$1{,}00 \cdot 1{,}5^2 = \$2{,}25</math>. Начисления процентов раз в квартал приводит к <math>\$1{,}00 \cdot 1{,}25^4 = \$2{,}44140625</math>, и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел: <math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>, и этот предел равен числу <math>e ~ (\approx 2{,}71828)</math>.

<math>\$1{,}00 \cdot \left( 1+ \frac{1}{12} \right)^{12} = \$2{,}613035...</math>

<math>\$1{,}00 \cdot \left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} = \$2{,}714567...</math>

Таким образом, константа <math>e</math> означает максимально возможную годовую прибыль при <math>100\%</math> годовых и максимальной частоте капитализации процентов^[4].

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой <math>b</math>, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву <math>e</math> начал использовать Эйлер в 1727 году, впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года^[5]^[6], а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год. Соответственно, <math>e</math> обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву <math>c</math>, буква <math>e</math> применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

В языках программирования символу <math>e</math> в экспоненциальной записи чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка FORTRAN для математических вычислений^[7].

Мнемоника

Мнемоническое правило для числа Эйлера с точностью до 21 знака после запятой: 2 и 7, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов), после них три первых простых числа (2, 3 и 5) и количество градусов в полном обороте (360).

Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила для первых девяти цифр после запятой:

Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой

Приближения

<math> e \approx (1+\frac{1}{10^6})^{10^6}</math>, с точностью 0,000001;

В соответствии с теорией непрерывных дробей наилучшими рациональными приближениями числа <math>e</math> будут подходящие дроби разложения числа <math>e</math> в непрерывную дробь.

Число 19/7 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,004;

Число 87/32 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,0005;

Число 193/71 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,00003;

Число 1264/465 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,000003;

Число 2721/1001 превосходит число <math>e</math> менее чем на 0,0000002;

Площадь поверхности квадратной пирамиды, у которой боковые грани правильные треугольники с длиной ребра 1 (точность 0,014).Шаблон:Значимость факта?

Открытые проблемы

Неизвестно, является ли число <math>e</math> элементом кольца периодов.
Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: <math>\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, e^{\pi^2}, e^e, 2^e.</math> Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Следовательно, неизвестно, являются ли числа <math>\pi</math> и <math>e</math> алгебраически независимыми^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13].
Неизвестно, является ли первое число Скьюза <math>e^{e^{e^{79}}}</math> целым числом.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Из
Шаблон:Статья (статья с примерами физического смысла констант <math>\pi</math> и <math>e</math>)
Шаблон:Cite web Шаблон:Ref-en
e for 2.71828…Шаблон:Ref-en (история и правило Джексона)
«Экспонента и число е: просто и понятно Шаблон:Wayback» — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & Number e | BetterExplained Шаблон:Ref-en
Простое доказательство трансцендентности чисел e (на школьном уровне) и π см. стр. 520—535 Веберъ Г., Вельштейнъ И. Энциклопедiя элементарной математики. Том 1. Элементарная алгебра и анализъ. 1906

Внешние ссылки

↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:MathWorld
↑ Шаблон:Cite web
↑ Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P. H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle, vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56—60 ; см. page 58. Шаблон:Wayback
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:MathWorld
↑ Шаблон:MathWorld
↑ Шаблон:MathWorld
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:MathWorld
↑ Шаблон:Cite web

Шаблон:Выбор языка Шаблон:Числа с собственными именами Шаблон:Иррациональные числа Шаблон:Производные буквы E

[1] Шаблон:Книга

[2] Шаблон:Cite web

[3] Шаблон:MathWorld

[OConnor-4] Шаблон:Cite web

[5] Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P. H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle, vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56—60 ; см. page 58. Шаблон:Wayback

[6] Шаблон:Книга

[7] Шаблон:Книга

[8] Шаблон:MathWorld

[9] Шаблон:MathWorld

[10] Шаблон:MathWorld

[11] Шаблон:Cite web

[12] Шаблон:MathWorld

[13] Шаблон:Cite web

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:E (число)

Содержание

Способы определения

Свойства

История

Мнемоника

Приближения

Открытые проблемы

См. также

Примечания

Ссылки

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты

Иррациональные числа Шаблон:Вещественные константы
Система счисления	Оценка числа <math>e</math>
Двоичная	10,101101111110000101010001011001…
Десятичная	2,7182818284590452353602874713527…
Шестнадцатеричная	2,B7E151628AED2A6A…
Шестидесятеричная	2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Рациональные приближения	⁸/₃; ¹¹/₄; ¹⁹/₇; ⁸⁷/₃₂; ¹⁰⁶/₃₉; ¹⁹³/₇₁; ¹²⁶⁴/₄₆₅; ²⁷²¹/₁₀₀₁; ²³²²⁵/₈₅₄₄ (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …] (Эта непрерывная дробь не периодическая. Записана в линейной нотации)