Русская Википедия:Empirical Mode Decomposition
EMD (Шаблон:Lang-en) — метод разложения сигналов на функции, которые получили название «эмпирических мод».
Метод EMD представляет собой итерационную вычислительную процедуру, в результате которой исходные данные (непрерывный или дискретный сигнал) раскладываются на эмпирические моды или внутренние колебания (Шаблон:Lang-en, IMF). В отличие от гармонического анализа, где модель (дискретного или непрерывного) сигнала задаётся заранее, эмпирические моды вычисляются в ходе процесса, что и подчёркивается в названии метода. Разложение на эмпирические моды позволяет анализировать локальные явления, поэтому данный метод может быть использован при обработке нестационарных временных рядов (или процессов).
Метод EMD является неотъемлемой частью преобразования Гильберта — Хуанга.
Определения
Огибающая сигнала
Огибающая сигнала — это функция, построенная по характерным точкам данного сигнала, например, по экстремумам.
У каждого (дискретного или непрерывного) сигнала имеются локальные экстремумы: локальные максимумы и локальные минимумы. В результате, можно построить две огибающие: нижнюю огибающую, построенную по точкам локального минимума, и верхнюю огибающую, построенную по точкам локального максимума.
В методе EMD в качестве приближающих функций используются кубические сплайны.
Среднее значение
В методе EMD используется так называемое «среднее значение» — функция, которой отвечает срединная линия, расположенная в точности между огибающими: нижней и верхней.
Эмпирическая мода
Эмпирическая мода, внутреннее колебание или мода (Шаблон:Lang-en, IMF) — эта такая функция, которая обладает следующими двумя свойствами:
- Количество экстремумов (и максимумов и минимумов) и количество пересечений нуля не должны отличаться более чем на единицу.
- Среднее значение, которое определяется по двум огибающим — верхней и нижней, должно быть равно нулю.
Эмпирические моды обладают такими свойствами, которые позволяют применять к ним методы гильбертова спектрального анализа.
Просеивание
Процедура выделения эмпирических мод называется просеиванием (Шаблон:Lang-en).
Алгоритм метода
Пусть <math>X(t)</math> — анализируемый сигнал.
Суть метода EMD заключается в последовательном вычислении эмпирических мод <math>c_j</math> и остатков <math>r_j=r_{j-1}-c_j</math>, где <math>j=1,\;2,\;3,\;\ldots,\;n</math> и <math>r_0=X(t)</math>.
В результате, получается разложение сигнала вида
- <math>X(t)=\sum_{j=1}^n c_j+r_n,</math>
где <math>n</math> — количество эмпирических мод, которое устанавливается в ходе вычислений.
Схема алгоритма
В общем виде, алгоритм метода выглядит следующим образом.
Находятся экстремумы сигнала. Их следует искать между каждыми двумя последовательными переменами знака.
Строятся две огибающие сигнала: нижняя <math>\nu</math> и верхняя <math>\mu</math>. При этом можно использовать сплайн (например, кубический).
Вычисляются среднее значение <math>m_1</math> и разность <math>h_1</math> между сигналом и его средним значением:
- <math>X(t)-m_1=h_1</math>.
Если полученная разность удовлетворяет определению эмпирической моды, то процесс останавливается. В этом случае полученная разность и будет эмпирической модой.
В противном случае, необходимо повторить предыдущие операции уже для полученной разности <math>h_1</math> (поиск экстремумов, построение огибающих, вычисление среднего и его вычитание):
- <math>h_{1}-m_{11}=h_{11}</math>.
В результате выполнения последовательности итераций вида
- <math>h_{1(k-1)}-m_{1k}=h_{1k}</math>
необходимо получить функцию
- <math>c_1=h_{1k},</math>
которая удовлетворяет определению эмпирической моды. Как только эмпирическая мода, обозначаемая <math>c_1</math>, выделена, итерации прекращаются.
Вычисляется остаток <math>r_1=x-c_1</math>, и весь алгоритм повторяется снова, но уже для функции <math>r_1</math>.
Получение остатков происходит до тех пор, пока вновь вычисленный остаток не окажется монотонной функцией, из которой уже нельзя будет выделить эмпирическую моду.
Условия остановки
При просеивании последовательно вычисляются функции <math>h_k</math>, поэтому необходимо иметь критерий останова итерационного процесса. Для этого обычно используется одно из двух условий.
Первое условие было предложено самим Хуангом и по форме напоминает критерий Коши (сходимости последовательности), а именно: определим для каждого целого числа <math>k</math> величину
- <math>{SD}_k=\sum\limits_{t=0}^T \frac{|h_{k-1}(t)-h_k(t)|^2}{h_{k-1}^2(t)}.</math>
Итерации прекращаются как только число <math>{SD}_k</math> станет меньше, чем некоторая заданная заранее величина.
Второе условие основано на соотношении количества пересечения нуля <math>Z_k</math> и количества экстремумов <math>E_k</math>: процесс просеивания обрывается, если <math>Z_k=E_k</math> или <math>|Z_k-E_k|=1</math> имеет место на протяжении <math>S</math> итераций. Число <math>S</math> выбирается заранее.
См. также
Литература
