Русская Википедия:F-тест
F-тест или критерий Фишера (F-критерий, φ*-критерий) — статистический критерий, тестовая статистика которого при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера (F-распределение).
Статистика теста так или иначе сводится к отношению выборочных дисперсий (сумм квадратов, деленных на «степени свободы»). Чтобы статистика имела распределение Фишера, необходимо, чтобы числитель и знаменатель были независимыми случайными величинами и соответствующие суммы квадратов имели распределение Хи-квадрат. Для этого требуется, чтобы данные имели нормальное распределение. Кроме того, предполагается, что дисперсия случайных величин, квадраты которых суммируются, одинакова.
Тест проводится путём сравнения значения статистики с критическим значением соответствующего распределения Фишера при заданном уровне значимости. Известно, что если <math>F \sim F(m,n)</math>, то <math>1/F \sim F(n,m)</math>. Кроме того, квантили распределения Фишера обладают свойством <math>F_{1-\alpha}=1/F_{\alpha}</math>. Поэтому обычно на практике в числителе участвует потенциально большая величина, в знаменателе — меньшая и сравнение осуществляется с «правой» квантилью распределения. Тем не менее тест может быть и двусторонним, и односторонним. В первом случае при уровне значимости <math>\alpha</math> используется квантиль <math>F_{\alpha/2}</math>, а при одностороннем тесте — <math>F_{\alpha}</math>[1].
Более удобный способ проверки гипотез — с помощью p-значения <math>p(F)</math> — вероятностью того, что случайная величина с данным распределением Фишера превысит данное значение статистики. Если <math>p(F)</math> (для двустороннего теста — <math>2p(F</math>)) меньше уровня значимости <math>\alpha</math>, то нулевая гипотеза отвергается, в противном случае принимается.
Примеры F-тестов
F-тест на равенство дисперсий
Две выборки
Пусть имеются две выборки объёмом m и n соответственно случайных величин X и Y, имеющих нормальное распределение. Необходимо проверить равенство их дисперсий. Статистика теста
<math>F=\frac {\hat{\sigma}^2_X}{\hat{\sigma}^2_Y}~ \sim ~F(m-1,n-1)</math>
где <math>{\hat{\sigma}^2}</math> — выборочная дисперсия.
Если статистика больше критического значения, соответствующего выбранному уровню значимости, то дисперсии случайных величин признаются не одинаковыми.
Несколько выборок
Пусть выборка объёмом N случайной величины X разделена на k групп с количеством наблюдений <math>n_i</math> в i-ой группе.
Межгрупповая («объяснённая») дисперсия: <math>\hat{\sigma}^2_{BG}=\sum^k_{i=1} n_i (\overline {x_i}-\overline {x})^2/(k-1)</math>
Внутригрупповая («необъяснённая») дисперсия: <math>\hat{\sigma}^2_{WG}=\sum^k_{i=1}\sum^{n_i}_{j=1} (x_{ij}-\overline {x}_i)^2/(N-k)</math>
<math>F=\frac {\hat{\sigma}^2_{BG}}{\hat{\sigma}^2_{WG}}~\sim~F(k-1,N-k)</math>
Данный тест можно свести к тестированию значимости регрессии переменной X на фиктивные переменные-индикаторы групп. Если статистика превышает критическое значение, то гипотеза о равенстве средних в выборках отвергается, в противном случае средние можно считать одинаковыми.
Проверка ограничений на параметры регрессии
Статистика теста для проверки линейных ограничений на параметры классической нормальной линейной регрессии определяется по формуле:
<math>F=\frac {(RSS_S-RSS_L)/q}{RSS_L/(n-k_L)}=\frac {(R^2_L-R^2_S)/q}{(1-R^2_L)/(n-k_L)}~\sim ~F(q,n-k_L)</math>
где <math>q=k_L-k_S</math> -количество ограничений, n-объём выборки, k-количество параметров модели, RSS-сумма квадратов остатков модели, <math>R^2</math>-коэффициент детерминации, индексы S и L относятся соответственно к короткой и длинной модели (модели с ограничениями и модели без ограничений).
Замечание
Описанный выше F-тест является точным в случае нормального распределения случайных ошибок модели. Однако F-тест можно применить и в более общем случае. В этом случае он является асимптотическим. Соответствующую F-статистику можно рассчитать на основе статистик других асимптотических тестов — теста Вальда (W), теста множителей Лагранжа(LM) и теста отношения правдоподобия (LR) — следующим образом:
<math>F=\frac {n-k}{q} W/n ~,~ F=\frac {n-k}{q} \frac {LM} {n-LM} ~,~F=\frac {n-k}{q}(e^{LR/n}-1)</math> Все эти статистики асимптотически имеют распределение F(q, n-k), несмотря на то, что их значения на малых выборках могут различаться.
Проверка значимости линейной регрессии
Данный тест очень важен в регрессионном анализе и по существу является частным случаем проверки ограничений. В данном случае нулевая гипотеза — об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при факторах регрессионной модели (то есть всего ограничений k-1). В данном случае короткая модель — это просто константа в качестве фактора, то есть коэффициент детерминации короткой модели равен нулю. Статистика теста равна:
<math>F=\frac {R^2/(k-1)}{(1-R^2)/(n-k)}~\sim ~F(k-1,n-k)</math>
Соответственно, если значение этой статистики больше критического значения при данном уровне значимости, то нулевая гипотеза отвергается, что означает статистическую значимость регрессии. В противном случае модель признается незначимой.
Пример
Пусть оценивается линейная регрессия доли расходов на питание в общей сумме расходов на константу, логарифм совокупных расходов, количество взрослых членов семьи и количество детей до 11 лет. То есть всего в модели 4 оцениваемых параметра (k=4). Пусть по результатам оценки регрессии получен коэффициент детерминации <math>R^2=41.2366\%</math>. По вышеприведенной формуле рассчитаем значение F-статистики в случае, если регрессия оценена по данным 34 наблюдений и по данным 64 наблюдений: <math>F_1=\frac {0.412366/(4-1)}{(1-0.412366)/(34-4)}=0,70174*10=7,02</math>
<math>F_2=\frac {0.412366/(4-1)}{(1-0.412366)/(64-4)}=0,70174*20=14.04</math>
Критическое значение статистики при 1 % уровне значимости (в Excel функция FРАСПОБР) в первом случае равно <math>F_{1\%}(3,30)=4,51</math>, а во втором случае <math>F_{1\%}(3,60)=4,13</math>. В обоих случаях регрессия признается значимой при заданном уровне значимости. В первом случае P-значение равно 0,1 %, а во втором — 0,00005 %. Таким образом, во втором случае уверенность в значимости регрессии существенно выше (существенно меньше вероятность ошибки в случае признания модели значимой).
Проверка гетероскедастичности
См. также
- Проверка статистических гипотез
- Статистический критерий
- Тест Вальда
- Тест отношения правдоподобия
- Тест множителей Лагранжа
- Тест Голдфелда-Куандта
Примечания
