Русская Википедия:G-функция Барнса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

G-функция Барнса (обычно обозначаемая <math> G(z) </math>) — функция, которая расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел. Она связана с Гамма-функцией, K-функцией и постоянной Глейшера—Кинкелина. <math> G </math>-функция названа в честь английского математика Эрнеста Уильяма Барнса.

Формально <math> G </math>-функция Барнса определяется (в форме произведения Вейерштрасса) как

<math>G(z+1)=(2\pi)^{z/2} e^{-\left[z(z+1)+\gamma z^2\right]/2}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)^ne^{-z+z^2/(2n)}\right]</math>

где <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера—Маскерони.

Дифференциальные уравнения, функциональные уравнения и частные значения

<math> G </math>-функция Барнса удовлетворяет разностному уравнению

<math> G(z+1)=\Gamma(z)G(z) </math>

Таким образом,

<math> G(n)=\operatorname{sf}(n-2) </math>, где <math> \operatorname{sf}(x) </math>— суперфакториал <math> x </math>.

Например,

<math> G(8)=\operatorname{sf}(6) = 6!\cdot 5!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1! = 24883200 </math>

если принять, что <math> G(1)=1 </math>. В дифференциальном уравнении подразумевается, что <math> G </math> принимает следующие значение при целых значениях аргумента:

<math>G(n)=\begin{cases} 0&\mbox{if }n=0,-1,-2,\dots\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!&\mbox{if }n=1,2,\dots\end{cases}</math>

таким образом

<math>G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}</math>

где Γ — Гамма-функция и K — K-функция. Дифференциальное уравнение единственным образом определяет <math> G </math>-функцию, если добавлено условие выпуклости: <math>\frac{d^3}{dx^3}G(x)\geq 0</math>.

Дифференциальное уравнение для <math> G </math>-функции и функциональное уравнение для Гамма-функции приводят к следующим функциональным уравнениям для <math> G </math>-функции, доказанным Германом Кинкелином:

<math> G(1-z) = G(1+z)\frac{ 1}{(2\pi)^z} \exp \int_0^z \pi x \cot \pi x \, dx.</math>

Формула умножения

Схожая с Гамма-функцией, <math> G </math>-функция также имеет формулу умножения:

<math>

G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right), </math> где

<math> K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot

n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\, (Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.</math>

Здесь <math>\zeta^\prime</math> — это дзета-функция Римана, <math>A</math> — это постоянная Глейшера—Кинкелина.