Русская Википедия:GW-приближение
GW-приближение или приближение GW или GW-метод (Шаблон:Lang-en) — это приближение, сделанное для расчёта собственно-энергетической части системы многих частиц (электронов)[1][2][3]. Приближение состоит в том, что разложение собственно-энергетической части Σ через одночастичную функцию Грина G и экранированное кулоновское взаимодействие W (в единицах <math> \hbar=1</math>)
- <math>\Sigma = iGW - GWGWG + \cdots</math>
можно оборвать после первого слагаемого:
- <math>\Sigma \approx iG W</math>
Другими словами, собственно-энергетическая часть разлагается в формальный ряд Тейлора по степеням экранированного взаимодействия W, а член самого низкого порядка сохраняется в разложении в GWA.
Теория
Приведенные выше формулы имеют схематический характер и показывают общую идею приближения. Точнее, если пометить координату электрона его положением, спином и временем и объединить все три в составной индекс (числа 1, 2 и т. д.), получится
- <math> \Sigma(1,2) = iG(1,2)W(1^+,2) - \int d3 \int d4 \, G(1,3)G(3,4)G(4,2)W(1,4)W(3,2) + ... </math>
где верхний индекс «+» означает, что временной индекс сдвинут вперед на бесконечно малую величину. GW-приближение тогда соответствует
- <math> \Sigma(1,2) \approx iG(1,2)W(1^+,2) </math>
Если заменить W на голое кулоновское взаимодействие (то есть обычное 1/r-взаимодействие), получится стандартный пертурбативный ряд для собственно-энергетической части, который можно найти в большинстве учебников, которые рассматривают многочастичные задачи. GWA с заменой W на голый кулоновский потенциал соответствует обменному потенциалу Хартри — Фока (собственно-энергетической части).
В твердотельной системе ряд для собственно-энергетической части в терминах W должен сходиться намного быстрее, чем традиционный ряд для голого кулоновского взаимодействия. Это связано с тем, что экранирование среды снижает эффективную силу кулоновского взаимодействия: например, если поместить электрон в какое-то место в материале и спросить, каков потенциал он создаёт в каком-то другом месте в материале, значение окажется меньше, чем даётся голым кулоновским взаимодействием (обратное расстояние между точками), потому что другие электроны в среде поляризуются (перемещают или искажают свои электронные состояния), чтобы экранировать электрическое поле. Следовательно, W — это меньшая величина, чем голое кулоновское взаимодействие, так что ряд по W должен иметь более быструю сходимость.
Чтобы увидеть более быструю сходимость, можно рассмотреть простейший пример с однородным или однородным электронным газом, который характеризуется электронной плотностью или, что эквивалентно, средним межэлектронным расстоянием или радиусом Вигнера — Зейтца. <math> r_s </math>. Для оценки нужно выполнить следующие шаги:
- Кинетическая энергия электрона масштабируется как <math>1/r_s^2</math>
- Среднее электрон-электронное отталкивание от голого (неэкранированного) кулоновского взаимодействия масштабируется как <math>1/r_s</math> (просто инверсия типичного расстояния)
- Диэлектрическая проницаемость электронного газа в простейшей модели экранирования Томаса — Ферми для волнового вектора <math> q </math> задаётся как
- <math> \epsilon(q) = 1 + \lambda^2/q^2</math>
где <math>\lambda</math> это экранирующее волновое число, которое масштабируется как <math> r_s^{-1/2} </math>
- Типичные волновые векторы <math>q</math> масштабируются как <math>1/r_s</math> (снова типичное обратное расстояние)
- Следовательно, типичное значение экранировки <math>\epsilon \sim 1 + r_s </math>
- Экранированное кулоновское взаимодействие равно <math> W(q) = V(q)/\epsilon(q)</math>
Таким образом, для чистого кулоновского взаимодействия отношение кулоновской энергии к кинетической имеет порядок <math>r_s</math>, что для типичного металла принимает значения 2-5 и совсем не мало: другими словами, голое кулоновское взаимодействие довольно сильно и приводит к плохому пертурбативному разложению. С другой стороны, соотношение типичного <math>W</math> кинетической энергии сильно снижается за счет экранирования и имеет порядок <math>r_s/(1+r_s)</math> который ведет себя хорошо и оказывается меньше единицы даже для больших <math> r_s </math> : экранированное взаимодействие намного слабее и с большей вероятностью даст быстро сходящийся пертурбативный ряд.
Источники
- Основные публикации по применению приближения GW Шаблон:Wayback
- Изображение Ларса Хедина, изобретателя GW
- GW100 — Тестирование подхода GW для молекул.
Рекомендации
Дальнейшее чтение
- Электронная корреляция в твердом теле, Норман Х. Марч (редактор), World Scientific Publishing Company
- Шаблон:Cite journal
