Русская Википедия:H∞-управление
H на бесконечности или <math>\mathcal{H}_\infty</math> — метод теории управления для синтеза оптимальных регуляторов. Метод является оптимизационным, имеющим дело со строгим математическим описанием предполагаемого поведения замкнутой системы и её устойчивости. Метод примечателен своей строгой математической базой, оптимизационным характером и применимостью как к классическому, так и устойчивому управлению.
<math>\mathcal{H}</math> является нормой в пространстве Харди. «Бесконечность» говорит о выполнении минимаксных условий в частотной области. <math>\mathcal{H}_\infty</math>-норма динамической системы, имеющая смысл максимального усиления системы по энергии. В случае MIMO-систем она равна максимальному сингулярному числу передаточной функции системы, в случае SISO-систем она равна максимальному значению амплитуды её частотной характеристики.
Постановка задачи
Сначала система должна быть приведена к стандартному виду:
Файл:H-infty plant representation.png
Объект управления <math>\ P</math> имеет два входа, два внешних воздействия <math>\ w</math>, которые включают задаточный сигнал и возмущения. Контролируемая переменная обозначена <math>\ u</math>. Это вектор выходных сигналов системы, состоящий из сигнала ошибки <math>\ z</math>, который надо минимизировать, и измеренная переменная <math>\ v</math>, которая используется в контуре управления. <math>\ v</math> используется в K для подсчёта переменной <math>\ u</math>.
Уравнение системы:
- <math>\begin{bmatrix} z\\ v \end{bmatrix} = P(s)\, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}P_{11}(s) & P_{12}(s)\\P_{21}(s) & P_{22}(s)\end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} w\\ u\end{bmatrix}</math>
- <math>u = K(s) \, v</math>
Таким образом возможно выразить зависимость <math>\ z</math> от <math>\ w</math>:
- <math>z=F_l(P,K)\,w</math>
И далее:
- <math>F_l(P,K) = P_{11} + P_{12}\,K\,(I-P_{22}\,K)^{-1}\,P_{21}</math>
Таким образом, целью <math>\mathcal{H}_\infty</math>-оптимального управления является синтез такого контроллера <math>\ K </math>, <math>\ F_l(P,K)</math>, который минимизировал бы <math>\mathcal{H}_\infty</math>-норму системы. То же относится и к <math>\mathcal{H}_2</math>-управлению. Норма на бесконечности матрицы<math>\ F_l(P,K)</math> определяется как:
- <math>||F_l(P,K)||_\infty = \sup_\omega \bar{\sigma}(F_l(P,K)(j\omega))</math>
где <math>\bar{\sigma}</math> — максимальное сингулярное число матрицы <math>\ F_l(P,K)(j\omega)</math>.
Найденный таким образом контроллер является оптимальным в <math>\mathcal{H}_\infty</math>-смысле. Существует также ряд приложений, в которых решается так называемая «задача малого усиления (Шаблон:Lang-en)». В рамках этой задачи необходимо найти такой контроллер, который бы обеспечивал выполнение условия
- <math>min(||F_l(P,K)||_\infty) \le 1</math>.
Эта задача иногда также называется «стандартной задачей <math>\mathcal{H}_\infty</math>-управления».
Преимущества и недостатки
H∞-управление имеет несколько особенностей в сравнении с другими методами синтеза робастных контроллеров. К преимуществам можно отнести:
- Метод работает с устойчивостью и чувствительностью системы.
- Простой одношаговый алгоритм.
- Точное формирование выходной частотной характеристики.
К недостаткам можно отнести то, что метод требует обращать особое внимание на параметрическую робастность объекта управления.
Свойства <math>\mathcal{H}_\infty</math>-контроллеров
1. Весовая функция <math>\mathcal{H}_\infty</math>-оптимального контроллера представляет собой фазовый фильтр, то есть для наименьшего сингулярного числа системы <math>\bar{ \sigma\ }</math> выполняется соотношение:
- <math>\bar{ \sigma\ }(F_l(P,K)) = 1</math> для любого <math> \omega\ \in R</math>
2. <math>\mathcal{H}_\infty</math>-оптимальный контроллер имеет порядок максимум <math>\ n-1 </math>, где <math>\ n </math> — порядок объекта управления.
Условия существования <math>\mathcal{H}_\infty</math>-контроллеров
Для того, чтобы существовал <math>\mathcal{H}_\infty</math>-контроллер в стандартной задаче:
- <math>min(||F_l(P,K)||_\infty) \le 1</math>
необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1. Представим замкнутую систему в виде уравнений в пространстве состояний:
- <math>\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)</math>
- <math>\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)</math>
Шаблон:Начало цитаты Должен существовать закон пропорционального управления <math> \ F(s) = K </math> такой, чтобы наибольшее сингулярное число матрицы <math> \ D </math> замкнутой системы удовлетворяло неравенству <math>\sigma_n\ (D) < 1</math> Шаблон:Конец цитаты 2. Уравнение Риккати для управления Шаблон:Начало цитаты Уравнение Риккати для управления по состояниям должно иметь вещественное, положительно-определённое решение <math> P \ge 0</math>. Шаблон:Конец цитаты 3. Уравнение Риккати для наблюдателя Шаблон:Начало цитаты Уравнение Риккати для наблюдателя, работающего в паре с контроллером, должно иметь вещественное, положительно-определённое решение <math> S \ge 0</math>. Шаблон:Конец цитаты 4. Ограничение по собственным числам: Шаблон:Начало цитаты Наибольшее собственное число произведения двух решений (для контроллера и наблюдателя) уравнений Риккати должно быть меньше единицы: <math>\lambda_{max}(PS) < 1</math> Шаблон:Конец цитаты
См. также
Библиография
- Егупов Н. Д., Пупков К. А. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. В 5 тт. Т. 3, Изд.2. 2004.616 с.
- R. Y. Chiang, Modern Robust Control Theory. Ph. D. Dissertation: USC,1988.
