Русская Википедия:H-принцип

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:MorinSurfaceAsSphere'sInsideVersusOutside.PNG

Возможность вывернуть сферу наизнанку является одним из проявлений h-принципа

H-принцип (читается аш-принцип) — общий способ решения дифференциальных уравнений в частных производных и, в более общем плане, дифференциальных соотношений в частных производных. Н-принцип хорош для недоопределённых систем, подобных тем, которые появляются в задачах о погружении, изометрическом погружении и других.

Теория оформилась в работах Элиашберга, Громова и Филлипса.

Основанием послужили более ранние результаты, в которых решение дифференциальных соотношений сводилось к гомотопии, в частности в задачах о погружениях.

Первые идеи h-принципа появились в Шаблон:Iw, парадоксе выворачивания сферы, теореме Нэша — Кёйпера и теореме Смейла — Хирша.

Примерное представление

Предположим, мы хотим найти функцию <math>f</math> на <math>\mathbb{R}^m</math>, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных степени <math>k</math> в координатах <math>(u_1,u_2,\dots,u_m)</math>. Это уравнение можно записать как

<math>\Psi(u_1,u_2,\dots,u_m, J^k_f)=0,</math>

где <math>J^k_f</math> означает все частные производные <math>f</math> до степени <math>k</math>. Вместо каждой переменной в <math>J^k_f</math> подставим независимую переменную <math>y_1,y_2,\dots,y_N.</math> Наше исходное уравнение можно рассматривать как систему

<math>\Psi(u_1,u_2,\dots,u_m,y_1,y_2,\dots,y_N)=0</math>

и некоторое количество уравнений следующего типа

<math>y_j={\partial^k f\over \partial u_{i_1}\ldots\partial u_{i_k}}.</math>

Решение уравнения

<math>\Psi(u_1,u_2,\dots,u_m,y_1,y_2,\dots,y_N)=0</math>

называется формальным или неголономным решением, решение системы (которое является решением нашего первоначального уравнения) называется голономным решением.

Для существования голономного решения необходимо существование  неголономного решения. Обычно последнее довольно легко проверить, и если его нет, то наше исходное уравнение не имеет решений.

Говорят, что уравнение в частных производных удовлетворяет h-принципу, если любое неголономное решение может быть продеформировано в голономное в классе неголономных решений. Таким образом, при выполнении h-принципa, дифференциальнo-топологическая задача сводится к алгебраической и топологической задаче. Более конкретно это означает, что кроме топологических, нет других препятствий для существования голономных решений. Топологическая проблема поиска неголономных решение обычно намного проще.

Многие недоопределенные дифференциальные уравнения в частных производных удовлетворяют h-принципу.

Невыполнение h-принципа для определённого уравнения — тоже интересное утверждение, интуитивно это означает, что изучаемые объекты имеют нетривиальную геометрию, которая не может быть сведена к топологии. Примером служат лагранжевы вложения в симплектическое многообразие; они не удовлетворяют h-принципу, чтобы доказать это, используют инварианты на основе псевдо-голоморфных кривых.

Простейший пример

Рассмотрим автомобиль, движущийся в плоскости. Положение машины на плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами <math>x</math> и <math>y</math> (например, пусть эти координаты задают положение средней точки между задними колёсами) и углом <math>\alpha</math>, который описывает ориентацию автомобиля. В движении автомобиль удовлетворяет уравнению

<math>\dot x \sin\alpha=\dot y\cos \alpha,</math>

предполагая, что автомобиль двигается без заноса.

Неголономное решение в данном случае соответствует движению автомобиля за счет скольжения в плоскости. В этом случае неголономные решения не только гомотопны голономным, но также они сколь угодно хорошо аппроксимируются голономными (этого можно добиться движением взад-вперед, как при параллельной парковке в ограниченном пространстве) — обратите внимание, что при этом и положение и направление автомобиля аппроксимируются сколь угодно близко. Последнее свойство сильнее, чем общий h-принцип; оно называется <math>C^0</math>-плотный h-принцип.

Приложения

Здесь перечислены несколько контринтуитивных результатов, которые можно доказать применением h-принципа:

• Выворачивание конуса. Рассмотрим функцию f на R² без начала координат, <math>f(x) = |x|</math>. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство функций <math>f_t</math> таких, что <math>f_0=f</math>, <math>f_1=-f</math>, и для любого <math>t</math> градиент <math>f_t</math> отличен от нуля в любой точке.

• Любое открытое многообразие допускает (не полную) риманову метрику положительной (или отрицательной) кривизны.

• Выворачивание сферы без складок или разрыва может быть проделано, используя только <math>C^1</math> изометрические вложения сферы.

• Теорема Нэша о регулярных вложениях.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Н. Х. Кёйпер, О C¹-изометрических вложениях // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 17—28.
• Дж. Нэш, C¹-изометрические вложения // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 3—16.
• M. W. Hirsch, Immersions of manifold. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959)
• S. Smale, The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. of Math(2) 69 (1959)
• David Spring, Convex integration theory - solutions to the h-principle in geometry and topology, Monographs in Mathematics 92, Birkhauser-Verlag, 1998