Русская Википедия:H-пространство

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

H-пространство — обобщение понятия топологической группы определённого типа.

Определение

H-пространство - пара, состоящая из топологического пространства <math>P</math> с отмеченной точкой и непрерывного отображения <math>\mu: P \times P \rightarrow P</math>(называемого умножением), для которого постоянное отображение в отмеченную точку <math>c: P \longrightarrow P</math> служит гомотопической единицей (т.е. каждая из композиций

<math>P \overset{(c,1)}{\rightarrow} P \times P \overset{\mu}{\rightarrow} \quad \text{и} \quad P \overset{(1,c)}{\rightarrow} P \times P \overset{\mu}{\rightarrow} P</math>

гомотопна тождественному отображению).

Примеры

• Каждая топологическая группа является H-пространством.
• Для произвольного топологического пространства <math>X</math> пространство <math>\mathcal{H}_X</math> всех непрерывных отображений <math>X\to X</math>, гомотопных тождественному, является H-пространством.
  • При этом <math>\mu\colon\mathcal{H}_X\times\mathcal{H}_X\to\mathcal{H}_X</math> можно определить как композицию <math>\mu(f,g)=f\circ g</math>.

• Среди сфер, только <math>\mathbb{S}^0</math>, <math>\mathbb{S}^1</math>, <math>\mathbb{S}^3</math> и <math>\mathbb{S}^7</math> являются H-пространствами. При этом
  • Каждое из этих пространств образует подмножество элементов с единичной нормой среди  вещественных чисел, комплексных чисел, кватернионов и октонионов соответственно.
  • <math>\mathbb{S}^0</math>, <math>\mathbb{S}^1</math> и <math>\mathbb{S}^3</math> являются группами Ли, а <math>\mathbb{S}^7</math> — нет.

Свойства

• Фундаментальная группа H-пространства является абелевой.

См. также

• Топологическая группа
• Когомологии Александрова — Чеха
• Алгебра Хопфа

Ссылки

• Шаблон:Citation. Section 3.C