Русская Википедия:H-теорема
В термодинамике и кинетической теории, <math>H</math>-теорема, полученная Больцманом в 1872 году, описывает неубывание энтропии идеального газа в необратимых процессах, исходя из уравнения Больцмана.
На первый взгляд может показаться, что она описывает необратимое возрастание энтропии исходя из микроскопических обратимых уравнений динамики. В своё время этот результат вызвал бурные споры.
Формулировка
При временно́й эволюции к равновесному состоянию энтропия внешне замкнутой системы возрастает и остается неизменной при достижении равновесного состоянияШаблон:Sfn.
H-теорема
Величина <math>H</math> определяется как интеграл по пространству скоростей:
- <math>H\,\overset{\mathrm{def}}{=}\int P(\ln P)\,d^3v=\langle\ln P\rangle,</math>
где <math>P(v)</math> — вероятность.
Используя уравнение Больцмана, можно показать, что <math>H</math> не может возрастать.
Для системы из <math>N</math> статистически независимых частиц, <math>H</math> соотносится с термодинамической энтропией <math>S</math> посредством:
- <math>S\,\overset{\mathrm{def}}{=}-NkH,</math>
таким образом, согласно <math>H</math>-теореме, <math>S</math> не может убывать.
Однако Лошмидт выдвинул возражение, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричных во времени уравнений динамики. Решение парадокса Лошмидта заключается в том, что уравнение Больцмана основано на предположении «молекулярного хаоса», то есть для описания системы достаточно одночастичной функции распределения. Это допущение по сути и нарушает симметрию во времени.
Формулировка
<math>\frac{\partial H}{\partial t}+\frac{\partial H_{i}}{\partial x_{i}} \leqslant 0</math>, где <math>H=\int f \ln f \frac{dp}{m}</math>, <math>H_{i}=\int \frac{p_{i}}{m} f \ln f \frac{dp}{m}</math>, <math>f</math> - любая функция, удовлетворяющая уравнению БольцманаШаблон:Sfn
- <math>
\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \cdot \frac{\mathbf{p}}{m} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{F} = Q(f, f). </math>
Доказательство
Доказательство следует из неравенства Больцмана <math>\int \ln f Q(f,f)\frac{dp}{m} \leqslant 0</math>, где <math>f</math> - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана, <math>Q(f,f)</math> - интеграл столкновений. Для доказательства умножаем обе части уравнения Больцмана на <math>1+\ln f</math> и интегрируем по всем возможным скоростям <math>\frac{p}{m}</math>. При этом используется, что <math>d(f \ln f)=(1+\ln f)df</math>, неравенство Больцмана <math>\int \ln f Q(f,f)\frac{dp}{m} \leqslant 0</math>, <math>1</math> - инвариант столкновений, обращение <math>f</math> в нуль при стремлении скорости к бесконечностиШаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
