Русская Википедия:ISO 31-11

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Спецсимволы ISO 31-11:1992 — часть международного стандарта ISO 31, которая определяет «математические обозначения и символы для использования в естественных науках и технологии» (Шаблон:Lang-en). Данный стандарт был принят в 1992 году, а в 2009 году заменён на несколько дополненный стандарт ISO 80000-2Шаблон:Sfn (последняя редакция[1]: ISO 80000-2:2019, 2nd edition).

Математические символы

Ниже приведены (не полностью) основные разделы стандарта[2].

Математическая логика

Обозна-
чение
Употребление Название Смысл и пояснения Комментарии
pq конъюнкция p и q
pq дизъюнкция p или q (возможно, оба)
¬ ¬ p отрицание неверно p; не-p
pq импликация если p, то q; из p следует q Иногда записывается в виде pq или qp.
xA p(x)
(∀xA) p(x)
квантор общности для каждого x из множества A верно утверждение p(x) Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста.
xA p(x)
(∃xA) p(x)
квантор существования существует x из множества A, для которого утверждение p(x) верно Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста.
Вариант ∃! означает, что такое x единственно во множестве A.

Теория множеств

Обозна-
чение
Употребление Смысл и пояснения Комментарии
xA x принадлежит A; x является элементом множества A
xA x не принадлежит A; x не является элементом множества A Перечёркивающая линия может быть и вертикальной.
Ax Множество A содержит элемент x равносильно xA
Ax Множество A не содержит элемента x равносильно xA
{ } {x1, x2, ..., xn} множество, образованное элементами x1, x2, ..., xn также {xiiI}, где I обозначает множество индексов
{ ∣ } {xAp(x)} множество таких элементов A, для которых утверждение p(x) верно Пример: {x ∈ ℝ ∣ x > 5}
Для краткости уточнение "∈A" часто опускают, если оно ясно из контекста.
card card(A) кардинальное число элементов множества A; мощность A
AB разность множеств A и B; A минус B Множество элементов из A, которых нет в B.
AB = { xxAxB }
Не следует записывать в виде AB.
пустое множество
множество натуральных чисел, включая ноль ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
Если ноль исключён, надо пометить символ звёздочкой:
* = {1, 2, 3, ...}
Конечное подмножество: ℕk = {0, 1, 2, 3, ..., k − 1}
множество целых чисел ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Целые ненулевые обозначаются

* = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}

множество рациональных чисел * = ℚ ∖ {0}
множество вещественных чисел * = ℝ ∖ {0}
множество комплексных чисел * = ℂ ∖ {0}
[,] [a,b] замкнутый интервал в ℝ от a (включая) до b (включая) [a,b] = {x ∈ ℝ ∣ axb}
],]
(,]
]a,b]
(a,b]
полуоткрытый слева интервал в ℝ от a (исключая) до b (включая) ]a,b] = {x ∈ ℝ ∣ a < xb}
[,[
[,)
[a,b[
[a,b)
полуоткрытый справа интервал в ℝ от a (включая) до b (исключая) [a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ ax < b}
],[
(,)
]a,b[
(a,b)
открытый интервал в ℝ от a (исключая) до b (исключая) ]a,b[ = {x ∈ ℝ ∣ a < x < b}
BA B содержится в A; B есть подмножество A Каждый элемент B принадлежит A. Вариант символа: ⊂ .
BA B содержится в A как собственное подмножество Каждый элемент B принадлежит A, но B не равен A. Если ⊂ обозначает "содержится", то ⊊ должно использоваться в смысле "содержится как собственное подмножество".
CA C не содержится в A; C не является подмножеством A Вариант: CA
AB A содержит B (как подмножество) A содержит все элементы B. Вариант: ⊃. BA равносильно AB.
AB. A содержит B как собственное подмножество. A содержит все элементы B, но A не равно B. Если используется символ ⊃ , то ⊋ должен использоваться в смысле "содержит как собственное подмножество".
AC A не содержит C (как подмножество) Вариант: ⊅ . AC равносильно CA.
AB объединение A и B Множество элементов, принадлежащих либо A, либо B, либо обоим A и B.
AB = { xxAxB }
<math>\bigcup_{i=1}^n A_i</math> объединение семейства множеств <math>\bigcup_{i=1}^n A_i=A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n</math>, множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из Шаблон:Math. Варианты: <math>\bigcup{}_{i=1}^n</math> и <math>\bigcup_{i\in I}</math>, <math>\bigcup{}_{i \in I}</math>, где I — множество индексов.
AB пересечение A и B Множество элементов, принадлежащих как A, так и B.
AB = { xxAxB }
<math>\bigcap_{i=1}^n A_i</math> пересечение семейства множеств <math>\bigcap_{i=1}^n A_i=A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n</math>, множество элементов, принадлежащих каждому Шаблон:Math. Варианты: <math>\bigcap{}_{i=1}^n</math> и <math>\bigcap_{i\in I}</math>, <math>\bigcap{}_{i \in I}</math>, где I — множество индексов.
AB разность A и B Множество тех элементов A, которых нет в B. Символ A часто опускается, если он понятен по контексту. Вариант: ∁AB = AB.
(,) (a, b) упорядоченная пара a, b (a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d.
Вариант записи: ⟨a, b⟩.
(,...,) Шаблон:Math упорядоченный n-кортеж Вариант записи: ⟨a1, a2, ..., an⟩ (угловые скобки).
× A × B декартово произведение множеств A и B Множество упорядоченных пар (a, b), где aA и bB.
A × B = { (a, b) ∣ aAbB }
A × A × ⋯ × A обозначается An, где n — число сомножителей.
Δ ΔA множество пар (a, a) ∈ A × A, где aA; то есть диагональ множества A × A ΔA = { (a, a) ∣ aA }
Вариант записи: idA.

Прочие символы

Обозначение Пример Смысл и пояснения Комментарии
Юникод TeX
<math>\stackrel{\mathrm{def}}{=}</math> ab a равно b по определению[2] Вариант записи: a := b
= <math>=</math> a = b a равно b Вариант: символ ≡ подчёркивает, что это равенство есть тождество.
<math>\ne</math> ab a не равно b Вариант записи: <math>a \not\equiv b</math> указывает, что a не тождественно равно b.
<math>\stackrel{\wedge}{=}</math> ab a соответствует b Пример: на карте масштаба 1:106 1 см ≙ 10 км.
<math>\approx</math> ab a приблизительно равно b Символ ≃ означает "асимптотически равно".

<math>\begin{matrix} \sim \\ \propto \end{matrix}</math> ab
ab
a пропорционально b
< <math><</math> a < b a меньше, чем b
> <math>></math> a > b a больше, чем b
<math>\leqslant</math> ab a меньше или равно b Вариант: ≤, ≦.
<math>\geqslant</math> ab a больше или равно b Вариант: ≥, ≧.
<math>\ll</math> ab a намного меньше, чем b
<math>\gg</math> ab a намного больше, чем b
<math>\infty</math> бесконечность
()
[]
{}
⟨⟩
<math>\begin{matrix}() \\ {[]} \\ \{\} \\ \langle \rangle \end{matrix}</math> <math>\begin{matrix} {(a+b)c} \\ {[a+b]c} \\ {\{a+b\}c} \\ {\langle a+b \rangle c} \end{matrix}</math> <math>ac+bc</math>, скобки
Шаблон:S
<math>ac+bc</math>, фигурные скобки
<math>ac+bc</math>, угловые скобки
В алгебре приоритет разных скобок <math>(), [], \{\}, \langle \rangle </math> не стандартизован. Некоторые разделы математики имеют особые правила для употребления <math>(), [], \{\}, \langle \rangle </math>.
</math> AB ∥ CD прямая AB параллельна прямой CD
<math>\perp</math> <math>\mathrm{AB \perp CD}</math> прямая AB перпендикулярна прямой CD
<math>\mid</math> <math>a \mid b</math> a — делитель b или, что то же, b кратно a <math>\mid</math>

Операции

Обозначение Пример Смысл и пояснения Комментарии
+ a + b a плюс b
ab a минус b
± a ± b a плюс-минус b
ab a минус-плюс b −(a ± b) = −ab
... ... ... ...

Функции

Пример Смысл и пояснения Комментарии
<math>f:D \rightarrow C</math> функция f определена на D и принимает значения в C Используется для явного указания областей определения и значения для функции.
<math>f\left(S\right)</math> <math>\left\{f\left(x\right)\mid x\in S\right\}</math> Множество всех значений функции, соответствующих элементам подмножества S области определения.

Показательная и логарифмическая функции

Пример Смысл и пояснения Комментарии
e основание натуральных логарифмов e = 2,71828...
ex показательная функция с основанием e
<math>\log_a x</math> логарифм с основанием <math>a</math>
lb x двоичный логарифм (с основанием 2) lb x = <math>\log_2 x</math>
ln x натуральный логарифм (с основанием e) ln x =<math>\log_e x</math>
lg x десятичный логарифм (с основанием 10) lg x = <math>\log_{10} x</math>
... ... ...

Круговые и гиперболические функции

Пример Смысл и пояснения Комментарии
<math>\pi</math> отношение длины окружности к её диаметру <math>\pi</math> = 3,14159...
... ... ...

Комплексные числа

Пример Смысл и пояснения Комментарии
i   j мнимая единица; <math>i^2=-1</math> в электротехнике вместо <math>i</math> используется символ <math>j</math>.
Re z вещественная часть z z = x + iy, где x = Re z и y = Im z
Im z мнимая часть z
z абсолютная величина z; модуль z Иногда обозначается mod z
arg z аргумент z; фаза z <math>r=e^{i\varphi}</math>, где r = ∣z∣, φ = arg z, При этом Re z = r cos φ, Im z = r sin φ
z* (комплексно-) сопряжённое к z число Вариант: чёрточка над z вместо звёздочки
sgn z sgn z sgn z = z / ∣z∣ = exp(i arg z) для z ≠ 0, sgn 0 = 0

Матрицы

Пример Смысл и пояснения Комментарии
A матрица A ...
... ... ...

Системы координат

Координаты Радиус-вектор точки Название системы координат Комментарии
x, y, z <math>[x y z] = [x y z];</math> прямоугольная система координат (декартова) x1, x2, x3 для координат и e1, e2, e3 для векторов базиса. Эта символика легко обобщается на многомерный случай. ex, ey, ez образуют ортогональный (правый) базис. Базисные векторы в пространстве часто обозначаются i, j, k.
ρ, φ, z <math>[x, y, z] = [\rho \cos(\phi), \rho \sin(\phi), z]</math> цилиндрическая система координат eρ(φ), eφ(φ), ez образуют ортогональный (правый) базис. Если z= 0 (двумерный случай), то ρ и φполярные координаты.
r, θ, φ <math>[x, y, z] = r [\sin(\theta)\cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)]</math> сферическая система координат er(θ,φ), eθ(θ,φ),eφ(φ) образуют ортогональный (правый) базис.

Векторы и тензоры

Пример Смысл и пояснения Комментарии
a
<math>\vec a</math>
вектор a векторы в литературе могут выделяться жирным шрифтом и/или курсивом, а также стрелкой над буквой[3]. Любой вектор a можно умножить на скаляр k, получая вектор ka.
... ... ...

Специальные функции

Пример Смысл и пояснения Комментарии
<math>J_i (x)</math> цилиндрические функции Бесселя (первого рода) ...
... ... ...

Стандарт ISO 80000-2

Новый, дополненный стандарт ISO 80000-2 взамен ISO 31-11 появился в 2009 году. В нём добавились новые разделы (всего их стало 19):

  • Стандартные числовые множества и интервалы (Standard number sets and intervals).
  • Элементарная геометрия (Elementary geometry).
  • Комбинаторика (Combinatorics).
  • Преобразования (Transforms).

Название стандарта изменено на «Величины и единицы измерения» (Quantities and units — Part 2: Mathematics).

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Стандарты ISO

Шаблон:ВС

  1. ISO 80000-2:2019 Шаблон:Wayback.
  2. 2,0 2,1 Шаблон:Книга
  3. Другие встречающиеся варианты записи (например, чёрточка над буквой или готический шрифт) в стандарте не упоминаются.