Русская Википедия:K(G,n) пространство
Шаблон:Кпм <math>K(G,n)</math> пространства (или пространства Эйленберга — Маклейна) — топологические пространства с единственной нетривиальной гомотопической группой <math>G</math> в размерности <math>n</math>.
Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.
Определение
Пусть <math>G</math> — группа и <math>n</math> — положительное целое число. Линейно связное топологическое пространство <math>X</math> называется <math>K(G,n)</math> пространством, если оно имеет <math>n</math>-ную гомотопическую группу <math>\pi_n(X)</math> изоморфную <math>G</math>, а все остальные гомотопические группы <math>X</math> тривиальны.
Если <math>n>1</math>, то необходимо предположить, что <math>G</math> коммутативна.
Существование и единственность
При данных <math>G</math> и <math>n</math>, пример <math>K(G,n)</math> пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из <math>n</math>-мерных сфер, по одной на каждую образующую группы <math>G</math>, и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности <math>n+1</math>.
Примеры
- Окружность <math>\mathbb{S}^1</math> является <math>K(\Z,1)</math> пространством.
- Бесконечномерное вещественное проективное пространство <math>\mathbb{R}\mathrm{P}^{\infty}</math> является <math>K(\Z_2,1)</math> пространством.
- Сумма букет k окружностей <math>\textstyle\bigvee_{i=1}^k \mathbb{S}^1</math> это <math>K(G,1)</math> для <math>G</math> — свободная группа с k образующими.
- Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере <math>\mathbb{S}^3</math> является <math>K(G,1)</math> пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.
- Любое компактное связное неположительной секционной кривины многообразие M является <math>K(\Gamma,1)</math>, где <math>\Gamma=\pi_1(M)</math> является фундаментальной группой М.
- То же верно для локально CAT(0) пространств.
- Бесконечномерное комплексное проективное пространство <math>\mathbb{C}\mathrm{P}^{\infty}</math> является <math>K(\Z,2)</math> пространством. Его кольцо когомологий <math>\Z[x]</math> а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей <math>x</math> в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.
Свойства
- <math>K(G,n)</math> пространство единствененно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности.
- Произведение <math>K(G,n)</math> и <math>K(H,n)</math> пространств является <math>K(G\times H,n)</math> пространством.
- Предположим, что <math>X</math> — <math>K(G,n)</math> пространство, и <math>K</math> — произвольный CW-комплекс. Тогда для множества гомотопических классов отображений <math>K\to X</math> существует естественная биекция с группой когомологий <math>H^n(K,G)</math>. Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий.
- Пространство петель пространства <math>K(G,n)</math> пространства является <math>K(G,n-1)</math> пространством.
См. также
- Асферическое пространство — K(G,1) пространство.
- Гомологическая сфера
Литература
