Русская Википедия:K-распределение
K-распределение — в теории вероятности и статистике семейство трёхпараметрических непрерывных вероятностных распределений. Возникает при суперпозиции двух гамма-распределений. В каждом случае производится репараметризация гамма-распределения, и параметрами распределения являются:
- среднее значение распределения;
- обычные параметры формы.
Плотность вероятности
Модель заключается в том, что случайная величина <math>X</math> имеет гамма-распределение со средним значением <math>\sigma</math> и параметром формы <math>L</math>, причём величина <math>\sigma</math> в свою очередь имеет гамма-распределение со средним значением <math>\mu</math> и параметром формы <math>\nu</math>. В результате величина <math>X</math> имеет следующую функцию плотности вероятности для <math>x>0</math>:[1]
- <math>f_X(x; \mu, \nu, L) = \frac{2 \, \xi^{(\beta + 1)/2} x^{(\beta - 1)/2}}{\Gamma(L) \Gamma(\nu)} K_\alpha(2 \sqrt{\xi x}), </math>
где <math>\alpha = \nu - L,</math> <math>\beta = L + \nu - 1,</math> <math>\xi = L\nu/\mu ,</math> а <math>K</math> представляет собой модифицированную функцию Бесселя второго рода. Таким образом, K-распределение является составным распределением вероятности. Оно также является мультипликативным распределением, так как представляет собой распределение произведения двух независимых случайных величин, одно из которых имеет гамма-распределение со средним <math>\sigma</math> и параметром формы <math>L</math>, вторая — гамма-распределение со средним <math>\mu</math> и параметром формы <math>\nu</math>.
Распределение предложено в 1978 году статье Эрика Джекмана и Питера Пьюси[2], которые использовали его при моделировании отражения СВЧ-излучения от морской поверхности. Джекман и Тоу в 1987 году[3] получили это распределение из смещённой модели случайного блуждания. Уорд (1981)[4] получил K-распределение как распределение произведения двух случайных величин, z = ay, где а имеет хи-распределение, а y — комплексное гауссово распределение, в результате чего модуль величины z имеет K-распределение.
Моменты
Производящая функция моментов определяется как[5]
- <math>M_X(s) = \left(\frac{\xi}{s}\right)^{\beta/2} \exp \left( \frac{\xi}{2s} \right) W_{-\beta/2,\alpha/2} \left(\frac{\xi}{s}\right),</math>
где <math>W_{-\beta/2,\alpha/2}(\cdot)</math> — функция Уиттекера.
N-й момент K-распределения определяется как[1]
- <math>\mu_n = \xi^{-n} \frac{\Gamma(L + n) \Gamma(\nu + n)}{\Gamma(L)\Gamma(\nu)}.</math>
Поэтому математическое ожидание и дисперсия равны[1]
- <math>\operatorname{E}(X) = \mu;</math>
- <math>\operatorname{var}(X) = \mu^2 \frac{\nu + L + 1}{L \nu}.</math>
Другие свойства
Все свойства распределения симметричны относительно <math>L</math> и <math>\nu.</math>[1]
Приложения
K-распределение возникает в статистических или вероятностных моделях, используемых при моделировании радиолокаторов с синтезированной апертурой (РСА). Оно является суперпозицией два независимых вероятностных распределений, одно из которых представляет собой эффективную площадь рассеяния, а другая — спекл (дифракционное пятно, полученная в когерентном свете). Также используется в беспроводной связи в модели быстрых замираний и экранирования сигнала.
Примечания
Дальнейшее чтение
- Jakeman, E. (1980) "On the statistics of K-distributed noise", Journal of Physics A: Mathematics and General, 13, 31—48.
- Ward, K. D.; Tough, Robert J. A; Watts, Simon (2006) Sea Clutter: Scattering, the K Distribution and Radar Performance, Institution of Engineering and Technology. Шаблон:ISBN0-86341-503-2.
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Redding, Nicholas J. (1999) Estimating the Parameters of the K Distribution in the Intensity Domain. Шаблон:Wayback. Report DSTO-TR-0839, DSTO Electronics and Surveillance Laboratory, South Australia. p. 60
- ↑ Jakeman, E. and Pusey, P. N. (1978) "Significance of K-Distributions in Scattering Experiments", Physical Review Letters, 40, 546—550, Шаблон:Doi.
- ↑ Jakeman, E. and Tough, R. J. A. (1987) "Generalized K distribution: a statistical model for weak scattering", J. Opt. Soc. Am., 4, (9), p. 1764—1772.
- ↑ Ward, K. D. (1981) "Compound representation of high resolution sea clutter", Electron. Lett., 17, p. 561—565.
- ↑ Bithas, P. S.; Sagias, N. C.; Mathiopoulos, P. T.; Karagiannidis, G. K.; Rontogiannis, A. A. (2006) "On the performance analysis of digital communications over generalized-K fading channels", IEEE Communications Letters, 10 (5), p. 353—355.
