Русская Википедия:K-функция

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

K-функция, обычно обозначаемая <math>K(z)</math>, является обобщением гиперфакториала для комплексных чисел, подобно тому, как Гамма-функция является обобщением для факториала.

Формально, K-функция определяется, как

<math>K(z)=(2\pi)^{(-z-1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right].</math>

Также определяется в замкнутой форме:

<math>K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right]</math>

где ζ'(z) обозначает производную дзета-функции Римана, ζ(a,z) — это дзета-функция Гурвица и

<math>\zeta^\prime(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}.</math>

K-функция связана с Гамма-функцией и с G-функцией Барнса; для целых чисел n можно написать:

<math>K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}.</math>

Также

<math>K(n+1)=1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots n^n.</math>

Для положительных аргументов принимает минимальное значение <math>0{,}879786843\dots</math> в точке <math>x_\mathrm{min}=0{,}53768886\dots.</math>

Ссылки

• К-функция на mathworld