Русская Википедия:L-функция Дирихле

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

L-функция Дирихле <math>L_{\chi}(s)</math> — комплексная функция, заданная при <math>\operatorname{Re}\,s>0</math> (при <math>\operatorname{Re}\,s>1</math> в случае главного характера) формулой

<math>L_{\chi}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n^s}</math>,

где <math>\chi(n)</math> — некоторый числовой характер (по модулю k). <math>L</math>-функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства <math>L_\chi(1)\neq 0</math> для неглавных характеров.

Произведение Эйлера для L-функций Дирихле

В силу мультипликативности числового характера <math>\chi</math> <math>L</math>-функция Дирихле представима в области <math>\operatorname{Re}\,s>1</math> в виде эйлерова произведения по простым числам:

<math>L_{\chi}(s)=\prod_{p}\left(1-\frac{\chi(p)}{p^s}\right)^{-1}</math>.

Эта формула обуславливает многочисленные применения <math>L</math>-функций в теории простых чисел.

Связь с дзета-функцией

<math>L</math>-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана <math>\zeta(s)</math> формулой

<math>L_{\chi_0}(s)=\zeta(s)\prod_{p|k}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)</math>.

Эта формула позволяет доопределить <math>L_{\chi_0}(s)</math> для области <math>Re(s)>0</math> c простым полюсом в точке <math>s=1</math>.

Функциональное уравнение

Аналогично функции Римана, <math>L</math>-функция удовлетворяет похожему функциональному уравнению.

Определим <math>\Lambda(\chi, s)</math> следующим образом: если <math>\Gamma</math> — гамма-функция, <math>\chi(-1)=1</math> — чётный характер, то

<math>\Lambda(\chi, s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)L(\chi,s)</math>

Если <math>\chi(-1)=-1</math> — нечётный характер, то

<math>\Lambda(\chi, s)=\pi^{-(s+1)/2}\Gamma((s+1)/2)L(\chi,s)</math>

Пусть также <math>g(\chi)=\sum\limits_{k=1}^q\chi(k)\exp\frac{2\pi ik}{q}</math> — сумма Гаусса характера <math>\chi</math>, а <math>\varepsilon(\chi)=\frac{g(\chi)}{\sqrt{q}}</math> для чётного <math>\chi</math> и <math>\varepsilon(\chi)=-i\frac{g(\chi)}{\sqrt{q}}</math> для нечётного <math>\chi</math>. Тогда функциональное уравнение принимает вид:

<math>\Lambda(\chi, s)=\varepsilon(\chi)q^{1/2-s}\Lambda(\bar{\chi},1-s)</math>

См. также

• Ряд Дирихле

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга