Русская Википедия:LC-осциллятор
LC-осциллятор — электрическая цепь, состоящая в простейшем случае из параллельно соединенных емкости, индуктивности и нелинейного сопротивления, вольт-амперная характеристика которого имеет отрицательную дифференциальную проводимость <math>{g=di/du}</math> в области малых напряжений. Дифференциальное уравнение цепи имеет вид
<math>\frac{d^{2}u}{dt^{2}}+\frac{g(u)}{C}\frac{du}{dt}+\frac{1}{LC}u=0, \quad (1) </math>
Если ВАХ нелинейного сопротивления аппроксимировать сокращенным полиномом третьего порядка <math>i(u)=a_{1}u+a_{3}u^{3}</math>, то при отрицательном коэффициенте <math>a_{1}</math> , положительном <math>a_{3}</math> и численном равенстве <math>a_{1}=-a_{3}</math> уравнение (1) совпадает с уравнением Ван дер Поля. В общем случае уравнение (1) не имеет аналитического решения. Существует возможность получения стационарного решения в квадратурах для частных случаев. Одним из них является аппроксимация ВАХ прямой, проходящей через начало координат, с изломом в точке <math>U_{0}</math> таким образом, чтобы дифференциальная проводимость описывалась выражением[1]
<math>g(u)=\left\{\begin{matrix}kG,&u\geq U_{0};\\-G,&u<U_{0},\end{matrix}\right.</math>
где <math>k</math>, <math>G</math> и <math>U_{0}</math> — положительные константы. При <math>k<1</math> система неустойчива, при <math>k>1</math> и малых <math>G</math> в системе возникают стационарные колебания, близкие по форме к гармоническим.
На отдельных интервалах периода колебания стационарное решение однородного уравнения (1) при <math>kG<\sqrt{C/L}</math> имеет вид:
<math>u(t)=\left\{\begin{matrix}u_{1}=(a_{1} \sin \omega_{1} t+a_{2} \cos \omega_{1} t) exp {(-\delta_{1} t)}; \quad 0\leq t<t_{1};\\ u_{2}=(a_{2} \sin \omega_{2} t+a_{2} \cos \omega_{2} t) exp (\delta_{2}\, t);\quad \,t_{1}<t\leq T,\end{matrix}\right.</math>
где <math>\delta_{1}=kG/(2C)</math>, <math>\delta_{2}=G/(2C)</math>,
<math>\omega _{1}=\sqrt{1/(LC)-(kG/2C)^{2}}</math>, <math>\omega _{2}=\sqrt{1/(LC)-(G/2C)^{2}}</math>.
Период колебания <math>T</math> ,
момент времени <math>t_{1}</math>, служащий границей интервалов, на которых рассматривается (1) и постоянные интегрирования <math>a_{1,2}</math>, <math>b_{1,2}</math> определяются из решения системы уравнений[2]
<math>u_{1}(0)=U_{0}</math>; <math>u_{1}(t_{1})=U_{0}</math>; <math>u_{1}(0)=u_{2}(T)</math>; <math>u_{1}(t_{1})=u_{2}(t_{1})</math>;
<math>\left.\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}\right|_{0}=\left.\begin{matrix}du_{2}/dt\end{matrix}\right|_{T}</math>; <math>\left.\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}\right|_{t_{1}}=\left.\begin{matrix}du_{2}/dt\end{matrix}\right|_{t_{1}}</math>.
Коэффициенты решения (1), полученные численно с ошибкой в последнем разряде при <math>L=1</math> Гн, <math>C=1</math> Ф, <math>G=0,2</math> См, <math>U_0=1</math> B и <math>k=2</math>:
<math>a_{1}=4,66464104629771</math>,B; <math>a_{2}=1</math>,B; <math>b_{1}=2,13803529592679</math>,B; <math>b_{2}=0,0116873463357039</math>,B; <math>t_{1}=2,78836465601698</math>,с; <math>T=6,55583946961978</math>, с.
В случае <math>G>\sqrt{C/L}</math> генерируемые колебания становятся релаксационными, решение ищется в виде суммы двух экспоненциальных функций, но константы решения определяются по-прежнему из условия непрерывности <math>u(t)</math> и <math>du/dt</math> в точках сшивания <math>t=0</math> , <math>t=t_{1}</math> и <math>t=T</math>.
Дифференциальная проводимость <math>g(u)</math> может быть задана и иным образом[3].
Примечания
- ↑ Andronov, A.A., Chaikin, C.E., Theory of Oscillations, Princeton University Press, Princeton, NJ, (1949).
- ↑ Бирюков В. Н., Гатько Л. Е. «Точное стационарное решение уравнения автогенератора», Нелинейный мир, 10 (9),. 613—616, (2012).
- ↑ Pilipenko A. M., and Biryukov V. N. «Investigation of Modern Numerical Analysis Methods of Self-Oscillatory Circuits Efficiency», Journal of Radio Electronics, No 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html Шаблон:Wayback
