Русская Википедия:Lp (пространство)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

<math>L^p</math> (также встречается обозначение <math>L_p</math>; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их <math>p</math>-я степень интегрируема, где <math>p \geqslant 1</math>.

<math>L^p</math> — важнейший класс банаховых пространств. <math>L^2</math> (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение

Для построения пространств <math>L^p</math> используются <math>\mathcal{L}^p</math>-пространства. Пространство <math>\mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> для пространства с мерой <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> и <math>1 \leqslant p < \infty</math> — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

<math>\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) < \infty</math>.

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство <math>\mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> линейно.

На линейном пространстве <math>\mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> вводится полунорма:

<math>\|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right) ^{\frac{1}{p}}</math>.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы

Далее, на <math>\mathcal{L}^p</math> вводится отношение эквивалентности: <math>f \sim g</math>, если <math>f(x) = g(x)</math> почти всюду. Это отношение разбивает пространство <math>\mathcal{L}^p</math> на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) <math>\mathcal{L}^p/\sim</math> можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство <math>\left(\mathcal{L}^p/\!\sim,\; \|\cdot\|_p\right)</math> с построенной на нём нормой, и называется пространством <math>L^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> или просто <math>L^p</math>.

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами <math>L^p</math> называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При <math>0<p<1</math> <math>L^p</math> не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника, однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота

Норма на <math>L^p</math> вместе с линейной структурой порождает метрику:

<math>d(f,\;g) = \|f-g\|_p</math>,

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций <math>\{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p</math> называют сходящейся к функции <math>f\in L^p</math>, если:

<math>\|f_n-f\|_p \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>.

По определению, пространство <math>L^p</math> полно, когда любая фундаментальная последовательность в <math>L^p</math> сходится к элементу этого же пространства. Таким образом <math>L^p</math> — банахово пространство.

Пространство Шаблон:Math

В случае <math>p=2</math> норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве <math>L^2</math> вводится следующим образом:

<math>\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,\overline{g(x)}\, \mu(dx)</math>,

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

<math>\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,{g(x)}\, \mu(dx)</math>,

если они вещественные. Тогда, очевидно:

<math>\|f\|_2 = \sqrt{\langle f,\; f \rangle}</math>,

то есть норма порождается скалярным произведением. Ввиду полноты любого <math>L^p</math> следует, что <math>L^2</math> — гильбертово.

Пространство Шаблон:Math

Пространство <math>L^\infty</math> строится из пространства <math>\mathcal{L}^{\infty}(X,\;\mathcal{F},\;\mu)</math> измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

<math>\|f\|_{\infty} = \mathrm{ess} \sup\limits_{x\in X} |f(x)|</math>, где <math>\mathrm{ess} \sup</math> — существенный супремум функции.

<math>L^\infty</math> — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой <math>\| \cdot \|_\infty</math>, называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

<math>f_n \to f</math> в <math>L^{\infty}</math>, если <math>\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0</math> при <math>n \to \infty</math>.

Свойства

• Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве <math>L^p</math>. Пусть <math>f_n(x)=n^{1/p}</math> при <math>x\in(0,1/n]</math> и <math>f_n(x)=0</math> при <math>x\in(1/n,1]</math>, <math>f_n\in L^p</math>. Тогда <math>f_n \to 0</math> почти всюду. Но <math>\|f_n\|_p^p=\int_0^1 |f_n|^p d\mu=1</math>. Обратное также неверно.
• Если <math>\|f_n-f\|_p \to 0</math> при <math>n\to \infty</math>, то существует подпоследовательность <math>f_{n_k}</math>, такая что <math>f_{n_k} \to f</math> почти всюду.
• <math>L^p</math> функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть <math>L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)</math> — подмножество <math>L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)</math>, состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда <math>L^p_{C^{\infty}}</math> всюду плотно в <math>L^p</math>.
• <math>L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)</math> — сепарабельно при <math>p<\infty</math>.
• Если <math>\mu</math> — конечная мера, например, вероятность, и <math>1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty</math>, то <math>L^q \subset L^p</math>. В частности, <math>L^2 \subset L^1</math>, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Сопряжённые пространства

Для пространств <math>\left(L^p\right)^{\star}</math>, сопряжённое к <math>L^p</math> (пространств линейных функционалов на <math>L^p</math>) имеет место следующее свойство: если <math>1 < p < \infty</math>, то <math>\left(L^p\right)^{\star}</math> изоморфно <math>L^q</math> (<math>\left(L^p\right)^{\star} \cong L^q</math>), где <math>1/p+1/q=1</math>. Любой линейный функционал на <math>L^p</math> имеет вид:

<math>g(f) = \int\limits_X f(x)\, \tilde{g}(x)\, \mu(dx),</math>

где <math>\tilde{g}(x)\in L^q</math>.

В силу симметрии уравнения <math>1/p+1/q=1</math>, само пространство <math>L^p</math> дуально (с точностью до изоморфизма) к <math>L^q</math>, а следовательно:

<math>\left(L^p\right)^{\star \star} \cong L^p.</math>

Этот результат справедлив и для случая <math>p=1</math>, то есть <math>\left(L^1\right)^{\star} = L^{\infty}</math>. Однако <math>\left(L^{\infty}\right)^{\star} \not\cong L^1</math> и, в частности, <math>\left(L^1\right)^{\star \star} \not\cong L^1</math>.

Пространства Шаблон:Math

Пусть <math>(X,\;\mathcal{F},\;\mu) = \left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right)</math>, где <math>m</math> — счётная мера на <math>\mathbb{N}</math>, то есть <math>m(\{n\}) = 1,\; \forall n \in \mathbb{N}</math>. Тогда если <math>p<\infty</math>, то пространство <math>\ell^p\left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right)</math> представляет собой семейство последовательностей вида <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>, таких что:

<math>\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p < \infty</math>.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

<math>\|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}</math>.

Получившееся нормированное пространство обозначается <math>\ell^p</math>.

Если <math>p=\infty</math>, то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

<math>\|x\|_{\infty} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}}|x_n|</math>.

Получившееся пространство называется <math>\ell^\infty</math>, оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив <math>p=2</math>, получается гильбертово пространство <math>\ell^2</math>, чья норма порождена скалярным произведением:

<math>\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n}</math>,

если последовательности комплекснозначные, и:

<math>\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n {y_n},</math>

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с <math>\ell^p</math>, где <math>1 < p < \infty</math> изоморфно <math>\ell^q</math>, <math>1/p+1/q=1</math>. Для <math>p=1: \left(\ell^1\right)^{\star} = \ell^{\infty}</math>. Однако <math>\left(\ell^{\infty}\right)^{\star} \not\cong \ell^1</math>.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга