Русская Википедия:N-мерная грань

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

В стереометрии грань — это плоская поверхность (плоская область, например — многоугольник или круг), которая образует часть границы твердого объекта;[1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, есть многогранник.

В технических трактовках геометрии многогранников и политопов более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего политопа (в любом количестве измерений).[2]

Многоугольник (грань)

В элементарной геометрии грань — это многоугольникШаблон:Efn на границе многогранника.[3][4] Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника и евклидову плоскую плитку.

Например, любой из шести квадратов, ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения двумерных особенностей четырёхмерного многогранника. В этом смысле тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых разделяет два из 8 кубов, образующих тессеракт.

Стандартные примеры по символу Шлефли
Многогранник Звездный многогранник Евклидова мозаика Гиперболическая мозаика 4-многогранник
{4,3} {5/2,5} {4,4} {4,5} {4,3,3}
Файл:Hexahedron.png</img>



</br> Куб имеет 3 квадратных грани у каждой вершины. 		Файл:Small stellated dodecahedron.png</img>



</br> Малый звездчатый додекаэдр имеет 5 пентаграммных граней у каждой вершины. 		Файл:Tile 4,4.svg</img>



</br> Квадратная мозаика на евклидовой плоскости имеет 4 квадратных грани на каждую вершину. 		Файл:H2-5-4-primal.svg</img>



</br> Квадратная мозаика пятого порядка имеет 5 квадратных граней на вершину. 		Файл:Hypercube.svg</img>



</br> Тессеракт имеет 3 квадратных грани у каждого ребра.

Количество многоугольных граней многогранника

Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику

<math>V - E + F = 2,</math>

где V — количество вершин, E — количество ребер, а F — количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера. Таким образом, количество граней на 2 больше, чем разность количества ребер и количества вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.

k-мерная грань

В многомерной геометрии грани политопа являются элементами всех измерений.[5][6][7] Грань размерности k называется k-мерной гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-мерными гранями. В теории множеств набор граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество, где пустое множество для согласованности имеет «размерность» -1. Для любого политопа (n-мерного многогранника), −1 ≤ k ≤ n.

Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб(3-мерная грань), его (квадратные) грани, (линейные) ребра (1-мерные грани), (точечные) вершины (0-мерные грани) и пустое множество. Ниже приведены грани 4-мерного многогранника:

В некоторых областях математики, таких как комбинаторика многогранников, многогранник по определению выпуклый. Формально грань многогранника P есть пересечение P с любым замкнутым полупространством, граница которого не пересекается с внутренней частью P.[8] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество.[9][10]

В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездчатых многогранников, требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы множество граней включало в себя сам политоп и пустое множество.

Ячейка или трехмерная грань

Ячейка — это многогранный элемент (трехмерная грань) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или фигуры более высокой размерности. Ячейки являются гранями для четырёхмерных политопов и трехмерных мазаик.

Примеры:

Стандартные примеры по символу Шлефли
четырёхмерные политопы 3-мерные мозаики
{4,3,3} {5,3,3} {4,3,4} {5,3,4}
Файл:Hypercube.svg</img>



</br> Тессеракт имеет 3 кубические ячейки на ребро. 		Файл:Schlegel wireframe 120-cell.png</img>



</br> 120-ячейник имеет 3 додекаэдрические ячейки на ребро. 		Файл:Partial cubic honeycomb.png</img>



</br> Кубическая мозаика заполняет евклидово 3-мерное пространство кубами с 4 ячейками на каждом ребре. 		Файл:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png</img>



</br> Додекаэдрические соты 4 порядка заполняют трехмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки на ребро.

Фасета или (n − 1)-мерная грань

В многомерной геометрии Фасетами (также называемыми гипергранями)[11] n-мерного политопа являются (n -1)-грани (грани размерности на единицу меньше, чем сам многогранник).[12] Многогранник ограничен своими гранями.

Например:

Рекомендации

Шаблон:Примечания Шаблон:Изолированная статья

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite book
  2. ↑ Шаблон:Citation.
  3. ↑ Шаблон:CitationMatoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748.
  4. ↑ Шаблон:Citation.
  5. ↑ Шаблон:CitationMatoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748.
  6. ↑ Шаблон:Citation.
  7. ↑ Шаблон:Citation.
  8. ↑ Шаблон:Harvtxt and Шаблон:Harvtxt use a slightly different but equivalent definition, which amounts to intersecting P with either a hyperplane disjoint from the interior of P or the whole space.
  9. ↑ Шаблон:CitationGrünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 221 (2nd ed.), Springer, p. 17.
  10. ↑ Шаблон:CitationZiegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657.
  11. ↑ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) Шаблон:ISBN Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225
  12. ↑ Шаблон:Harvtxt, p. 87; Шаблон:Harvtxt, p. 27; Шаблон:Harvtxt, p. 17.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:N-мерная_грань&oldid=8736138