Русская Википедия:P-группа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

p-группа — группа, в которой порядок каждого элемента является степенью простого числа p.

Примеры

• Циклическая группа порядка <math>p^n</math> и прямые произведения таких групп.
  • Каждая коммутативная p-группа изоморфна одному из этих примеров.
• Группа Гейзенберга по модулю <math>p</math> — простейший пример некоммутативной p-группы.
• Группа Григорчука — пример бесконечной 2-группы.

Свойства

• Центр <math>Z(P)</math> нетривиальной конечной p-группы <math>P</math> является нетривиальной группой.
  • В частности, все p-группы нильпотентны.
  • Более того, если <math>H</math> нормальная подгруппа в p-группе <math>P</math>, то <math>|H\cap Z(P)|>1</math>.
    • Данное свойство получается из теоремы о центре, если учесть, что любая подгруппа p-группы сама является p-группой и что нормальная подгруппа инвариантна к сопряжениям.
• Если группа конечна, то ее порядок тогда тоже равен некоторой степени числа p (это следует из первой теоремы Силова).
  • Более того любая группа порядка <math>p^n</math> является p-группой (следует из теоремы Лежандра).
• При <math>n\rightarrow\infty</math> число неизоморфных групп порядка <math>p^n</math> асимптотически равно

  <math>p^{\frac2{27}\cdot n^3 +O(n)}</math>.

См. также

• Задача Бёрнсайда

Литература

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рус.)
• Холл М. Теория групп. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Gorenstein D. Finite groups — N. Y.: Harper and Row, 1968.