Русская Википедия:Q-производная
Q-производная или производная Джексона — это q-аналог обычной производной, который предложил Франк Хилтон Джексон. Q-производная обратна q-интегрированию Джексона. Другие виды q-производной можно найти в статье К.С. Чанга, В.С Чанга, С.Т. Нама и Х.Дж. КанаШаблон:Sfn.
Определение
Q-производная функции f(x) определяется как
- <math>\left(\frac{d}{dx}\right)_q f(x)=\frac{f(qx)-f(x)}{qx-x}.</math>
и часто записывается как <math>D_qf(x)</math>. Q-производная известна также как производная Джексона.
Формально, в терминах оператора сдвига Лагранжа в логарифмических переменных, это равносильно оператору
- <math>D_q= \frac{1}{x} ~ \frac{q^{dEducationBot (обсуждение) \over d (\ln x)} -1}{q-1} ~, </math>
который приводит к обычной производной, → d⁄dx при q → 1.
Оператор очевидно линеен,
- <math>\displaystyle D_q (f(x)+g(x)) = D_q f(x) + D_q g(x)~.</math>
Q-производная имеет правило для произведения, аналогичное правилу произведения для обычной производной в двух эквивалентных формах
- <math>\displaystyle D_q (f(x)g(x)) = g(x)D_q f(x) + f(qx)D_q g(x) = g(qx)D_q f(x) + f(x)D_q g(x). </math>
Аналогично, q-производная удовлетворяет правилу для деления,
- <math>\displaystyle D_q (f(x)/g(x)) = \frac{g(x)D_q f(x) - f(x)D_q g(x)}{g(qx)g(x)},\quad g(x)g(qx)\neq 0. </math>
Есть также правило, подобное правилу обычного дифференцирования суперпозиции функций. Пусть <math>g(x) = c x^k</math>. Тогда
- <math>\displaystyle D_q f(g(x)) = D_{q^k}(f)(g(x))D_q(g)(x).</math>
Собственная функция q-производной — это Шаблон:Не переведено 5 eq(x).
Связь с обычными производными
Q-дифференцирование напоминает обычное дифференцирование с курьёзными отличиями. Например, q-производная одночлена равна
- <math>\left(\frac{d}{dz}\right)_q z^n = \frac{1-q^n}{1-q} z^{n-1} =
[n]_q z^{n-1}</math>,
где <math>[n]_q</math> — q-скобка числа n. Заметим, что <math>\lim_{q\to 1}[n]_q = n</math>, так что обычная производная возвращается в пределе.
Для функции n-ая q-производная может быть задана как:
- <math>(D^n_q f)(0)=
\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{f^{(n)}(0)}{n!} [n]_q! </math>
при условии, что обычная n-ая производная функции f существует в x = 0. Здесь <math>(q;q)_n</math> — q-символ Похгаммера, а <math>[n]_q!</math> — q-факториал. Если функция <math>f(x)</math> аналитическая, мы можем использовать формулу Тейлора для определения <math>D_q(f(x)) </math>
- <math>\displaystyle D_q(f(x)) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(q-1)^k}{(k+1)!} x^k f^{(k+1)}(x).</math>
Q-аналог разложения Тейлора функции около нуля:
- <math>f(z)=\sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(0)\,\frac{z^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty (D^n_q f)(0)\,\frac{z^n}{[n]_q!}</math>
См. также
- Производная (математика)
- Шаблон:Не переведено 5
- Шаблон:Не переведено 5
- Шаблон:Не переведено 5
- Шаблон:Не переведено 5
- Энтропия Цаллиса
Примечания
Литература
Литература для дальнейшего чтения
- J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator, (1999) ArXiv math/9908140
- Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method,(2001),
