Русская Википедия:Sgn
Шаблон:Math (сигнум, от Шаблон:Lang-lat — знак) — кусочно-постоянная функция действительного аргумента. Обозначается <math>\sgn x</math>. Определяется следующим образом:
- <math>\sgn x = \begin{cases} \ \ 1, & x > 0 \\ \ \ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}</math>
Функция не является элементарной.
Часто используется представление
- <math>\sgn x = \frac{d}{dx} |x|</math>
При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.
Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.
История и обозначения
Функцию <math>\sgn x</math> ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе: <math>[x]</math>. В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с <math>\sgn</math>, функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение <math>sgn . x</math>, которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке. Иногда функцию обозначают как <math>\operatorname{sign} x</math>.
Свойства функции
- Область определения: <math>\mathbb R</math>.
- Область значений: <math>\{-1; 0; +1\}</math>.
- Гладкая во всех точках, кроме нуля.
- Функция нечётна.
- Точка <math>x=0</math> является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны <math>+1</math> и <math>-1</math> соответственно.
- <math>|x| = \sgn x \cdot x</math> и <math>x = \sgn x \cdot |x|</math> для <math>\forall x \in \mathbb{R}</math>. Иначе говоря,
- <math> \sgn x = {x \over |x|} = {|x| \over x}</math> при <math>x \ne 0</math>.
- <math>\frac{d}{dx}\sgn x = 2 \cdot \delta (x)</math>, где <math>\delta (x)</math> — дельта-функция Дирака.
- <math> \sgn x \cdot \sgn y = \sgn (x \cdot y)</math>.
- <math> \sgn x = \frac{2}{\pi} \int ^{\infty}_{0} \frac{\sin tx}{t} dt</math>.
Обобщения функции для комплексного аргумента
- Представление
- <math> \sgn z = \begin{cases} \frac{z}{|z|}, & z \ne 0 \\ 0, & z=0 \end{cases} </math>
даёт одно из возможных обобщений функции сигнум на множество комплексных чисел. При этом <math>\frac{z}{|z|}=\cos \varphi + i \sin \varphi = e^{i \varphi} </math>, где <math>\varphi = \operatorname{Arg} z </math> — аргумент комплексного числа <math>z</math>. При <math>z \ne 0</math> результатом функции <math>\sgn z</math> является точка единичной окружности, ближайшая к числу <math>z</math>. Смысл данного обобщения заключается в том, чтобы посредством радиус-вектора единичной длины показать направление на комплексной плоскости, отвечающее числу <math>z</math>. Это же направление в полярных координатах задаёт угол <math>\varphi</math>. Неопределённое направление, отвечающее числу <math>z=0</math>, выражается нулевым значением функции. Например, таким образом функция signum определена в стандартной библиотеке комплексных чисел в языке Haskell[1].
- Другой вариант обобщения функции, обозначаемый как <math>\operatorname{csgn}</math>, определяется следующим образом:
- <math>
\operatorname{csgn}(z)= \begin{cases}
1, & \operatorname{Re} z > 0 \\
-1, & \operatorname{Re} z < 0 \\
\sgn \operatorname{Im} z & \operatorname{Re} z=0
\end{cases} </math> Данное обобщение используется, например, в приложениях Mathcad и Maple[2].
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Публикация
- ↑ Maple V documentation. May 21, 1998
