Русская Википедия:Z-преобразование
Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты <math>E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}</math>, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.
Определение
Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.
Двустороннее Z-преобразование
Двустороннее Z-преобразование <math>X(z)</math> дискретного временного сигнала <math>x[n]</math> задаётся как:
- <math>X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}.</math>
где <math>n</math> — целое, <math>z</math> — комплексное число.
- <math>z=Ae^{j\varphi},</math>
где <math>A</math> — амплитуда, а <math>\varphi</math> — угловая частота (в радианах на отсчёт)
Одностороннее Z-преобразование
В случаях, когда <math>x[n]</math> определена только для <math>n\geqslant0</math>, одностороннее Z-преобразование задаётся как:
- <math>X(z)=Z\{x[n]\} =\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}.</math>
Обратное Z-преобразование
Обратное Z-преобразование определяется, например, так:
- <math>x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}\oint\limits_{C}X(z)z^{n-1}\,dz,</math>
где <math>C</math> — контур, охватывающий область сходимости <math>X(z)</math>. Контур должен содержать все вычеты <math>X(z)</math>.
Положив в предыдущей формуле <math>z=re^{j\varphi}</math>, получим эквивалентное определение: <math>x[n]=\frac{r^n}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi X(re^{j\varphi})e^{jn\varphi}\,d\varphi.</math>
Область сходимости
Область сходимости <math>D</math> представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых существует конечный предел ряда:
- <math>D=\left\{z \Big| \lim_{m\to\infty}\sum_{n=-m}^{m}x[n]z^{-n} = const < \infty\right\}.</math>
Пример 1 (без области сходимости)
Пусть <math>x[n]=0{,}5^n</math>. Раскрывая <math>x[n]</math> на интервале <math>(-\infty,\;\infty)</math>, получаем
- <math>x[n]=\{\ldots;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1};\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^2;\;0{,}5^3;\;\ldots\}=\{\ldots;\;2^3;\;2^2;\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^2;\;0{,}5^3;\;\ldots\}.</math>
Смотрим на сумму:
- <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=\infty.</math>
Поэтому, не существует таких значений <math>z</math>, которые бы удовлетворяли условию сходимости.
Связь с преобразованием Лапласа
Шаблон:Основная статья Билинейное преобразование может быть использовано для преобразования непрерывного времени, например, при аналитическом описании линейных фильтров, представленных преобразованием Лапласа, в дискретное время выборок с периодом <math>T,</math> представленное в z-области и обратно. При таком преобразовании используется замена переменной:
- <math>s =\frac{2}{T} \frac{(z-1)}{(z+1)}.</math>
Обратный переход от z-преобразования к преобразованию Лапласа производится аналогичной заменой переменной:
- <math>z =\frac{2+sT}{2-sT}.</math>
Билинейное преобразование отображает комплексную s-плоскость <math>s = \sigma + j \omega</math> преобразования Лапласа на комплексную z-плоскость z-преобразования. Это отображение нелинейное и характерно тем, что отображает ось <math>j\omega</math> s-плоскости на единичную окружность в z-плоскости.
Таким образом, преобразование Фурье, которое является преобразованием Лапласа для переменной <math>j\omega</math>, переходит в преобразование Фурье с дискретным временем. При этом предполагается, что преобразование Фурье существует, то есть ось <math>j\omega</math> находится в области сходимости преобразования Лапласа.
Таблица некоторых Z-преобразований
Обозначения:
- <math>\theta[n]=\left\{\begin{array}{c} 1, n\geqslant0 \\ 0, n<0\end{array}\right.</math> — функция Хевисайда.
- <math>\delta[n]=1</math> для <math>n=0</math>, и <math>\delta[n]=0</math> для всех остальных n — дельта-последовательность (не следует путать с дельта-символом Кронекера и дельта-функцией Дирака).
| Сигнал, <math>x[n]</math> | Z-преобразование, <math>X(z)</math> | Область сходимости | |
|---|---|---|---|
| 1 | <math>\delta[n]</math> | <math>1</math> | <math>\forall z</math> |
| 2 | <math>\delta[n-n_0]</math> | <math>\frac{1}{z^{n_0}}</math> | <math>z\neq 0</math> |
| 3 | <math>\theta[n]</math> | <math>\frac{z}{z-1}</math> | z|>1</math> |
| 4 | <math>a^n\theta[n]</math> | <math>\frac{1}{1-az^{-1}}</math> | z|>|a|</math> |
| 5 | <math>na^n\theta[n]</math> | <math>\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}</math> | z|>|a|</math> |
| 6 | <math>-a^n\theta[-n-1]</math> | <math>\frac{1}{1-az^{-1}}</math> | z|<|a|</math> |
| 7 | <math>-na^n\theta[-n-1]</math> | <math>\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}</math> | z|<|a|</math> |
| 8 | <math>\cos(\omega_0n)\theta[n]</math> | <math>\frac{1-z^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}}</math> | z|>1</math> |
| 9 | <math>\sin(\omega_0n)\theta[n]</math> | <math>\frac{z^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}}</math> | z|>1</math> |
| 10 | <math>a^n\cos(\omega_0n)\theta[n]</math> | <math>\frac{1-az^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}</math> | z|>|a|</math> |
| 11 | <math>a^n\sin(\omega_0n)\theta[n]</math> | <math>\frac{az^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}</math> | z|>|a|</math> |
См. также
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. С приложением таблиц, составленных Р.Гершелем: Пер. с немец. Серия: Физико-математическая библиотека инженера. 1971. 288 с.
