Состояние резонанса возникнет в колебательном контуре при условии, если реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности равны друг другу. Известно, что с увеличением частоты колебательного контура индуктивное реактивное сопротивление увеличивается, а ёмкостное реактивное сопротивление – уменьшается. Поэтому будет только одна частота, при которой оба реактивных сопротивления будут равны. Рассмотрим пример:
[[File:II-6_2-1.png|center|thumb|300px|Рис. 1. Простой параллельный резонансный (колебательный) контур.]]
В этой схеме есть конденсатор на 10 мкФ и катушка индуктивности на 100 мГн. Возьмём уравнения для определения реактивного сопротивления каждого элемента на заданной частоте, и найдём ту точку, где два реактивных сопротивления равны друг другу. Для этого обе формулы реактивного сопротивления приравняем друг другу и алгебраически решим относительно частоты:
[[File:II-6_2-2.png|center|thumb|300px|Рис. 2. Из уравнений для определения реактивных сопротивлений конденсатора и катушки индуктивности выводим формулу нахождения частоты, при которой наступает состояние резонанса.]]
Итак, что мы имеем: теперь у нас есть формула, которая находит резонансную частоту колебательного контура, учитывая значения индуктивности (L) в Генри и ёмкости (C) в Фарадах. Подставляя значения L и C, которые взяты для нашего примера, получаем резонансную частоту 159,155 Гц.
== Рассчитаем импедансы каждого реактивного компонента ==
При резонансе происходит кое-что весьма интересное. Когда ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу, полное сопротивление увеличивается до бесконечности, а это означает, что колебательный контур не потребляет ток от источника переменного тока!
Чтобы показать это математически, рассчитаем частные импедансы для конденсатора на 10 мкФ и катушки индуктивности на 100 мГн (и потом воспользуемся формулой для нахождения общего параллельного импеданса):
[[File:II-6_2-3.jpg|center|thumb|300px|Рис. 3. Уравнения для определения частных импедансов.]]
Как вы, наверное, догадались, для компонентов подобраны именно такие начальные значения, чтобы с получившимися значениями резонансных импедансов (равными точнёхонько 100 Ом) в дальнейшем было легко работать.
== Формула параллельного импеданса ==
Теперь по обратной формуле параллельного импеданса посмотрим, что происходит с общим Z:
[[File:II-6_2-4.jpg|center|thumb|300px|Рис. 4. Пытаемся по обратной формуле для параллельного импеданса найти общий Z. Упс… Деление на ноль…]]
== Смоделируем график в программе SPICE ==
Понятно, что деление числа на ноль не даёт интерпретируемый результат. Однако можно утверждать, что результат будет стремиться к бесконечности, если значения двух параллельных импедансов будут стремиться друг к другу.
На практике это означает, что в состоянии резонанса полное сопротивление колебательного контура бесконечно (т.е. в этом случае колебательный контур ведёт себя как разомкнутая цепь). Можно в виде графика изобразить последствия этого в широком диапазоне частот источника питания посредством небольшого моделирования в программе SPICE.
[[File:II-6_2-5.jpg|center|thumb|300px|Рис. 5. Смоделируем в SPICE широкий частотный диапазон источника питания для нашей изначальной цепи. Прежде чем программировать, на схеме отметим узловые точки и добавим для катушки индуктивности последовательное малое сопротивление (программа SPICE не обрабатывает прямую связь между источником напряжения и индуктивными элементами).]]
=== Моделируем в SPICE дополненную резонансную схему ===
{| class="wikitable"
|-
| tank circuit frequency sweep
v1 1 0 ac 1 sin
c1 1 0 10u
* фиктивное сопротивление, необходимое
* для устранения прямой связи между v1 и l1,
* с которой SPICE не может справиться
rbogus 1 2 1e-12
l1 2 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end
|}
Программа выдаст вот такой псевдографик:
[[File:II-6_2-6.png|center|thumb|500px|Рис. 6. (Псевдо)график, созданный программой SPICE.]]
{{ads2}}
Резистор 1 на пикоом (1 пОм) нужен, чтобы преодолеть ограничение SPICE, которая не может анализировать цепь, где источник напряжения напрямую соединён с индуктивным элементом. Было выбрано очень низкое значение сопротивления, чтобы минимизировать влияние резистора на поведение цепи.
Это моделирование в программе SPICE отображает ток в цепи в диапазоне частот от 100 до 200 Гц, разбитым на чётные 20 шагов (включая и крайние значения 100 и 200 Гц). Величина силы тока на графике увеличивается слева-направо, а частота увеличивается сверху-вниз.
На графике видно, что сила тока в этой цепи резко падает в окрестности точки 157,9 Гц. Эта точка, с одной стороны, попала на один из 20-ти шагов в цикле, а с другой – является ближайшей к точке, предсказанной в нашем анализе резонансной частоте 159,155 Гц. Именно в этот момент общий ток от источника питания падает до нуля.
=== Графический постпроцессор «Nutmeg» ===
Приведенный выше (псевдо)график создаётся в указанном выше файле схемы spice (имеющий расширение .cir) с помощью команды .plot в последней строке. Генерируется текстовый график, который можно распечатать на любом принтере или вывести в терминале. Для более красивой визуализации есть графический постпроцессор «Nutmeg» (переводится с английского как «мускатный орех»), входящий в программный пакет SPICE.
Приведенный выше spice-файл (тот, что с расширение .cir) не требует команды plot (.plot), хотя использование этой команды само по себе безвредно. Следующие команды создают более привлекательный график (приведён ниже):
{| class="wikitable"
|-
| spice -b -r resonant.raw resonant.cir
( -b batch mode, -r raw file, input is resonant.cir)
nutmeg resonant.raw
|}
Из спецификации Nutmeg, с подсказками, что происходит в каждой строке:
{| class="wikitable"
|-
| >setplot ac1 (setplot {enter} for list of plots)
>display (for list of signals)
>plot mag(v1#branch)
(magnitude of complex current vector v1#branch)
|}
[[File:II-6_2-8.jpg|center|thumb|300px|Рис. 7. График тока I (v1) для параллельного резонансного контура, созданный с помощью Nutmeg. Этот график аналогичен предыдущему (псевдо)графику, если его повернуть по часовой стрелке на 90°.]]
== Диаграммы Боде ==
К слову, график, полученный в результате компьютерного анализа SPICE, более известен как диаграмма Боде. Подобные графики по одной оси отображают амплитуду (фазовый сдвиг), а по другой – частоту. Крутизна кривой диаграммы Боде характеризует «частотную характеристику» схемы (т.е. её чувствительность к изменениям частоты).
== Итог ==
*Резонанс возникает, когда ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу.
*Для колебательного контура без сопротивления (R) резонансная частота может быть рассчитана по следующей формуле
[[File:II-6_2-9.jpg|center|thumb|300px|Рис. 8. Резонансная частота для колебательного контура, не являющегося резистивным.]]
*Общий импеданс параллельной LC-цепи приближается к бесконечности, когда частота источника питания по своему значению приближается к резонансной частоте.
*Диаграмма Боде представляет собой график, где амплитуда сигнала (или фазовый сдвиг) изображён на одной оси и частота колебаний – на другой.
Простой параллельный резонанс (колебательный контур)[1]
Резонанс в колебательном контуре
Состояние резонанса возникнет в колебательном контуре при условии, если реактивные сопротивления конденсатора и катушки индуктивности равны друг другу. Известно, что с увеличением частоты колебательного контура индуктивное реактивное сопротивление увеличивается, а ёмкостное реактивное сопротивление – уменьшается. Поэтому будет только одна частота, при которой оба реактивных сопротивления будут равны. Рассмотрим пример:
Рис. 1. Простой параллельный резонансный (колебательный) контур.
В этой схеме есть конденсатор на 10 мкФ и катушка индуктивности на 100 мГн. Возьмём уравнения для определения реактивного сопротивления каждого элемента на заданной частоте, и найдём ту точку, где два реактивных сопротивления равны друг другу. Для этого обе формулы реактивного сопротивления приравняем друг другу и алгебраически решим относительно частоты:
Рис. 2. Из уравнений для определения реактивных сопротивлений конденсатора и катушки индуктивности выводим формулу нахождения частоты, при которой наступает состояние резонанса.
Итак, что мы имеем: теперь у нас есть формула, которая находит резонансную частоту колебательного контура, учитывая значения индуктивности (L) в Генри и ёмкости (C) в Фарадах. Подставляя значения L и C, которые взяты для нашего примера, получаем резонансную частоту 159,155 Гц.
Рассчитаем импедансы каждого реактивного компонента
При резонансе происходит кое-что весьма интересное. Когда ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу, полное сопротивление увеличивается до бесконечности, а это означает, что колебательный контур не потребляет ток от источника переменного тока!
Чтобы показать это математически, рассчитаем частные импедансы для конденсатора на 10 мкФ и катушки индуктивности на 100 мГн (и потом воспользуемся формулой для нахождения общего параллельного импеданса):
Рис. 3. Уравнения для определения частных импедансов.
Как вы, наверное, догадались, для компонентов подобраны именно такие начальные значения, чтобы с получившимися значениями резонансных импедансов (равными точнёхонько 100 Ом) в дальнейшем было легко работать.
Формула параллельного импеданса
Теперь по обратной формуле параллельного импеданса посмотрим, что происходит с общим Z:
Рис. 4. Пытаемся по обратной формуле для параллельного импеданса найти общий Z. Упс… Деление на ноль…
Смоделируем график в программе SPICE
Понятно, что деление числа на ноль не даёт интерпретируемый результат. Однако можно утверждать, что результат будет стремиться к бесконечности, если значения двух параллельных импедансов будут стремиться друг к другу.
На практике это означает, что в состоянии резонанса полное сопротивление колебательного контура бесконечно (т.е. в этом случае колебательный контур ведёт себя как разомкнутая цепь). Можно в виде графика изобразить последствия этого в широком диапазоне частот источника питания посредством небольшого моделирования в программе SPICE.
Рис. 5. Смоделируем в SPICE широкий частотный диапазон источника питания для нашей изначальной цепи. Прежде чем программировать, на схеме отметим узловые точки и добавим для катушки индуктивности последовательное малое сопротивление (программа SPICE не обрабатывает прямую связь между источником напряжения и индуктивными элементами).
Моделируем в SPICE дополненную резонансную схему
tank circuit frequency sweep
v1 1 0 ac 1 sin
c1 1 0 10u
фиктивное сопротивление, необходимое
для устранения прямой связи между v1 и l1,
с которой SPICE не может справиться
rbogus 1 2 1e-12
l1 2 0 100m
.ac lin 20 100 200
.plot ac i(v1)
.end
Программа выдаст вот такой псевдографик:
Рис. 6. (Псевдо)график, созданный программой SPICE.
Резистор 1 на пикоом (1 пОм) нужен, чтобы преодолеть ограничение SPICE, которая не может анализировать цепь, где источник напряжения напрямую соединён с индуктивным элементом. Было выбрано очень низкое значение сопротивления, чтобы минимизировать влияние резистора на поведение цепи.
Это моделирование в программе SPICE отображает ток в цепи в диапазоне частот от 100 до 200 Гц, разбитым на чётные 20 шагов (включая и крайние значения 100 и 200 Гц). Величина силы тока на графике увеличивается слева-направо, а частота увеличивается сверху-вниз.
На графике видно, что сила тока в этой цепи резко падает в окрестности точки 157,9 Гц. Эта точка, с одной стороны, попала на один из 20-ти шагов в цикле, а с другой – является ближайшей к точке, предсказанной в нашем анализе резонансной частоте 159,155 Гц. Именно в этот момент общий ток от источника питания падает до нуля.
Графический постпроцессор «Nutmeg»
Приведенный выше (псевдо)график создаётся в указанном выше файле схемы spice (имеющий расширение .cir) с помощью команды .plot в последней строке. Генерируется текстовый график, который можно распечатать на любом принтере или вывести в терминале. Для более красивой визуализации есть графический постпроцессор «Nutmeg» (переводится с английского как «мускатный орех»), входящий в программный пакет SPICE.
Приведенный выше spice-файл (тот, что с расширение .cir) не требует команды plot (.plot), хотя использование этой команды само по себе безвредно. Следующие команды создают более привлекательный график (приведён ниже):
spice -b -r resonant.raw resonant.cir
( -b batch mode, -r raw file, input is resonant.cir)
nutmeg resonant.raw
Из спецификации Nutmeg, с подсказками, что происходит в каждой строке:
>setplot ac1 (setplot {enter} for list of plots)
>display (for list of signals)
>plot mag(v1#branch)
(magnitude of complex current vector v1#branch)
Рис. 7. График тока I (v1) для параллельного резонансного контура, созданный с помощью Nutmeg. Этот график аналогичен предыдущему (псевдо)графику, если его повернуть по часовой стрелке на 90°.
Диаграммы Боде
К слову, график, полученный в результате компьютерного анализа SPICE, более известен как диаграмма Боде. Подобные графики по одной оси отображают амплитуду (фазовый сдвиг), а по другой – частоту. Крутизна кривой диаграммы Боде характеризует «частотную характеристику» схемы (т.е. её чувствительность к изменениям частоты).
Итог
Резонанс возникает, когда ёмкостное и индуктивное реактивные сопротивления равны друг другу.
Для колебательного контура без сопротивления (R) резонансная частота может быть рассчитана по следующей формуле
Рис. 8. Резонансная частота для колебательного контура, не являющегося резистивным.
Общий импеданс параллельной LC-цепи приближается к бесконечности, когда частота источника питания по своему значению приближается к резонансной частоте.
Диаграмма Боде представляет собой график, где амплитуда сигнала (или фазовый сдвиг) изображён на одной оси и частота колебаний – на другой.