Файл:LogIntegral.png График функции <math>\mathrm{li}\,(x)</math>
Интегральный логарифм — специальная функция , определяемая интегралом
<math>\mathrm{li}\,(x)=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}.</math>
Для устранения сингулярности при <math>x=1</math> иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм :
<math>\mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}.</math>
Эти две функции связаны соотношением:
<math>\mathrm{li}\,(x)-\mathrm{Li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots</math>
Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.
Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:
<math>\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x).</math>
Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке <math>\mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots</math> (число Рамануджана — Солднера ).
Разложение в ряд
Из тождества, связывающего <math>\mathrm{li}\,(x)</math> и <math>\mathrm{Ei}(\ln x)</math> следует ряд:
<math>\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!},</math>
где <math>\gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots</math> — постоянная Эйлера — Маскерони .
Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном :
<math>\mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}.</math>
Интегральный логарифм и распределение простых чисел
Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел . Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем <math>x/\ln{x}</math>. При справедливости гипотезы Римана выполняется[1]
<math>\pi(x)=\mathrm{Li}\,(x)+O(\sqrt{x}\ln^2(x)).</math>
Для не слишком больших <math>x</math> <math>\pi(x)<\mathrm{Li}\,(x)</math>, однако доказано, что при некотором достаточно большом <math>x</math> неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза , в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 1019 [2] и 1,3971672·10316 ≈ e 727,951336108 [3] .
Примечания
Шаблон:Примечания
Литература
Математический энциклопедический словарь. — Шаблон:М. , 1995. — с. 238.
Шаблон:Rq
Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное
Викиум - Онлайн-тренажер для мозга
Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства.
Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft.
Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память.
Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России.
Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме.
Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео.
Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет
SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона.
«Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется.
StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.
Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено.
StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.