Русская Википедия:Интегральный логарифм

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:LogIntegral.png

График функции <math>\mathrm{li}\,(x)</math>

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

<math>\mathrm{li}\,(x)=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}.</math>

Для устранения сингулярности при <math>x=1</math> иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

<math>\mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}.</math>

Эти две функции связаны соотношением:

<math>\mathrm{li}\,(x)-\mathrm{Li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots</math>

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

<math>\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x).</math>

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке <math>\mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots</math> (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в ряд

Из тождества, связывающего <math>\mathrm{li}\,(x)</math> и <math>\mathrm{Ei}(\ln x)</math> следует ряд:

<math>\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!},</math>

где <math>\gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots</math> — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

<math>\mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}.</math>

Интегральный логарифм и распределение простых чисел

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем <math>x/\ln{x}</math>. При справедливости гипотезы Римана выполняется

<math>\pi(x)=\mathrm{Li}\,(x)+O(\sqrt{x}\ln^2(x)).</math>

Для не слишком больших <math>x</math> <math>\pi(x)<\mathrm{Li}\,(x)</math>, однако доказано, что при некотором достаточно большом <math>x</math> неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза, в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 10¹⁹ и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108}.

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — Шаблон:М., 1995. — с. 238.