Русская Википедия:Мультисекция ряда
Материал из Онлайн справочника
Мультисекцией ряда называется ряд, составленный из членов исходного ряда, индексы которых образуют арифметическую прогрессию.
Для ряда:
- <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n</math>
мультисекцией является всякий ряд вида:
- <math>\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{sm+d}\cdot x^{sm+d},</math>
где s, d — целые числа, 0 ⩽ d < s.
Мультисекция аналитических функций
Для мультисекции ряда аналитической функции
- <math>F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n</math>
справедлива формула:
- <math>\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{sm+d}\cdot x^{sm+d} = \frac{1}{s}\cdot \sum_{k=0}^{s-1} w^{-kd}\cdot F(w^k\cdot x),</math>
где <math>w = e^{\frac{2\pi i}{s}}</math> — первообразный корень степени s из единицы.
Пример
Мультисекцией бинома Ньютона
- <math>(1+x)^q = {q\choose 0} x^0 + {q\choose 1} x + {q\choose 2} x^2 + \dots</math>
при x = 1 является следующее тождество для суммы биномиальных коэффициентов с шагом s:
- <math>{q\choose d} + {q\choose d+s} + {q\choose d+2s} + \dots = \frac{1}{s}\cdot \sum_{k=0}^{s-1} \left( 2\cos\frac{\pi k}{s}\right )^q\cdot \cos \frac{\pi(q-2d)k}{s}.</math>
Ссылки
- Шаблон:MathWorld
- Somos, M. A Multisection of q-Series, 2006.
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
Шаблон:Последовательности и ряды
