Русская Википедия:Мультисекция ряда

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Мультисекцией ряда называется ряд, составленный из членов исходного ряда, индексы которых образуют арифметическую прогрессию.

Для ряда:

<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n</math>

мультисекцией является всякий ряд вида:

<math>\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{sm+d}\cdot x^{sm+d},</math>

где s, d — целые числа, 0 ⩽ d < s.

Мультисекция аналитических функций

Для мультисекции ряда аналитической функции

<math>F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n</math>

справедлива формула:

<math>\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{sm+d}\cdot x^{sm+d} = \frac{1}{s}\cdot \sum_{k=0}^{s-1} w^{-kd}\cdot F(w^k\cdot x),</math>

где <math>w = e^{\frac{2\pi i}{s}}</math> — первообразный корень степени s из единицы.

Пример

Мультисекцией бинома Ньютона

<math>(1+x)^q = {q\choose 0} x^0 + {q\choose 1} x + {q\choose 2} x^2 + \dots</math>

при x = 1 является следующее тождество для суммы биномиальных коэффициентов с шагом s:

<math>{q\choose d} + {q\choose d+s} + {q\choose d+2s} + \dots = \frac{1}{s}\cdot \sum_{k=0}^{s-1} \left( 2\cos\frac{\pi k}{s}\right )^q\cdot \cos \frac{\pi(q-2d)k}{s}.</math>

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Somos, M. A Multisection of q-Series, 2006.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья