Русская Википедия:Теорема Юнга
Теорема Юнга — неравенство на диаметр и радиус множества точек в любом евклидовом пространстве. Названо в честь Генриха Юнга.
Формулировка
Пусть <math>K\subset \mathbb{R}^n</math> — компактное множество диаметра <math>d</math>; то есть,
- <math>d = \max_{p,q\,\in\, K} \{\| p - q \|\}</math>
Тогда существует замкнутый шар с радиусом
- <math>r \leq d \sqrt{\frac{n}{2(n+1)}},</math>
который содержит <math>K</math>. Равенства достигается для правильного n-симплекса.
2-мерный случай
Наиболее распространенным является случай плоскости, то есть <math>n=2</math>. В этом случае неравенство утверждает, что существует окружность, охватывающая все точки, радиус которых удовлетворяет
- <math>r \leq \frac{d}{\sqrt{3}}.</math>
Это неравенство достигается для равностороннего треугольника
- <math>r = \frac{d}{\sqrt{3}}.</math>
Вариации и обобщения
- Общие метрические пространства
Для любого ограниченного множества <math>K</math> в любом метрическом пространстве выполняется
- <math>\tfrac d2\le r\le d</math>
Первое неравенство следует из неравенства треугольника для центра шара и двух диаметральных точек. Второе следует из того, что шар радиуса d, центрированный в любой точке <math>K</math>, будет содержать все <math>K</math>.
В дискретном метрическом пространстве, то есть пространстве, в котором расстояния между любой парой различных точек равны достигается второе неравенство. Первое неравенство достигается в инъективных пространствах, таких как расстояние городских кварталов на плоскости.
См. также
Литература