Русская Википедия:Теорема Юнга

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема Юнга — неравенство на диаметр и радиус множества точек в любом евклидовом пространстве. Названо в честь Генриха Юнга.

Формулировка

Пусть <math>K\subset \mathbb{R}^n</math> — компактное множество диаметра <math>d</math>; то есть,

<math>d = \max_{p,q\,\in\, K} \{\| p - q \|\}</math>

Тогда существует замкнутый шар с радиусом

<math>r \leq d \sqrt{\frac{n}{2(n+1)}},</math>

который содержит <math>K</math>. Равенства достигается для правильного n-симплекса.

2-мерный случай

Наиболее распространенным является случай плоскости, то есть <math>n=2</math>. В этом случае неравенство утверждает, что существует окружность, охватывающая все точки, радиус которых удовлетворяет

<math>r \leq \frac{d}{\sqrt{3}}.</math>

Это неравенство достигается для равностороннего треугольника

<math>r = \frac{d}{\sqrt{3}}.</math>

Вариации и обобщения

Общие метрические пространства

Для любого ограниченного множества <math>K</math> в любом метрическом пространстве выполняется

<math>\tfrac d2\le r\le d</math>

Первое неравенство следует из неравенства треугольника для центра шара и двух диаметральных точек. Второе следует из того, что шар радиуса d, центрированный в любой точке <math>K</math>, будет содержать все <math>K</math>.

В дискретном метрическом пространстве, то есть пространстве, в котором расстояния между любой парой различных точек равны достигается второе неравенство. Первое неравенство достигается в инъективных пространствах, таких как расстояние городских кварталов на плоскости.

См. также

• Неравенство Юнга

Литература

• Шаблон:Книга