Русская Википедия:Уравнения совместности деформаций
Уравнения совместимости деформаций — математические уравнения, выражающие один из основополагающих принципов механики сплошных сред — принцип совместимости деформаций. Суть последнего состоит в том, что компоненты тензора деформации должны подчиняться уравнениям совместимости, так как, в противном случае, рассматриваемое тело не будет являться сплошной средой. Уравнения совместимости деформаций часто называют тождествами Сен-Венана.
Математическое выражение принципа
Математически ограничения накладываются на тензор деформации. В зависимости от ситуации могут использоваться тензоры деформации Коши — Грина
- <math> E_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } + \sum\limits_l \frac{\partial u_l} {\partial x_i }\frac{\partial u_l} {\partial x_j } \right)</math>,
Тензор деформаций Альманзи — Гамеля
- <math> A_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } - \sum\limits_l \frac{\partial u_l} {\partial x_i }\frac{\partial u_l} {\partial x_j } \right)</math>,
Либо тензор малых деформаций
- <math> \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } \right)</math>,
Три компоненты поля смещений связаны с 6 компонентами тензора деформаций. Для того, чтобы эта система уравнений имела решение, однозначные в замкнутой односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие уравнения
- <math> \nabla \times E \times \nabla = 0 </math>,
- <math> \nabla \times A \times \nabla = 0 </math>,
- <math> \nabla \times \varepsilon \times \nabla = 0 </math>,
Литература