Русская Википедия:Уравнения совместности деформаций

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Уравнения совместимости деформаций  — математические уравнения, выражающие один из основополагающих принципов механики сплошных сред — принцип совместимости деформаций. Суть последнего состоит в том, что компоненты тензора деформации должны подчиняться уравнениям совместимости, так как, в противном случае, рассматриваемое тело не будет являться сплошной средой. Уравнения совместимости деформаций часто называют тождествами Сен-Венана.

Математическое выражение принципа

Математически ограничения накладываются на тензор деформации. В зависимости от ситуации могут использоваться тензоры деформации Коши — Грина

<math> E_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } + \sum\limits_l \frac{\partial u_l} {\partial x_i }\frac{\partial u_l} {\partial x_j } \right)</math>,

Тензор деформаций Альманзи — Гамеля

<math> A_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } - \sum\limits_l \frac{\partial u_l} {\partial x_i }\frac{\partial u_l} {\partial x_j } \right)</math>,

Либо тензор малых деформаций

<math> \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u_i} {\partial x_j } + \frac{\partial u_j} {\partial x_i } \right)</math>,

Три компоненты поля смещений связаны с 6 компонентами тензора деформаций. Для того, чтобы эта система уравнений имела решение, однозначные в замкнутой односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие уравнения

<math> \nabla \times E \times \nabla = 0 </math>,

<math> \nabla \times A \times \nabla = 0 </math>,

<math> \nabla \times \varepsilon \times \nabla = 0 </math>,

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга