Русская Википедия:Функция Вейерштрасса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:WeierstrassFunction.svg

График функции Вейерштрасса с параметрами a = 3, b = 1/2 на интервале [−2, 2]. Этот график имеет фрактальный характер, демонстрируя самоподобие: увеличиваемая область (в красном круге) подобна всему графику.

Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением

<math>w(x) = \sum_{n=0}^\infty b^n \cos(a^n \pi x),</math>

где <math>a</math> — произвольное нечётное число, не равное единице, а <math>b</math> — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

<math>\sum_{n=0}^\infty b^n,</math>

поэтому функция <math>w</math> определена и непрерывна при всех вещественных <math>x</math>. Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при

<math>ab > \tfrac{3}{2}\pi + 1.</math>

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке <math>x_0</math> строят две последовательности <math>\{x_m\}</math> и <math>\{ y_m\}</math>, сходящиеся к точке <math>x_0</math>, и доказывают, что отношения

<math>\frac{w(x_m) - w(x_0)}{x_m - x_0}</math> и <math>\frac{w(y_m) - w(x_0)}{y_m - x_0}</math>

имеют разные знаки по крайней мере при

<math>ab > \tfrac{3}{2}\pi + 1</math> и <math>a > 1</math>.

Указанные последовательности могут быть определены как

<math>x_m = \frac{\gamma_m - 1}{a^m}</math> и <math>y_m = \frac{\gamma_m + 1}{a^m},</math>

где <math>\gamma_m</math> — ближайшее целое число к <math>a^m x_0</math>.

Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях

<math>ab \geqslant 1</math> и <math>a > 1</math>

было установлено Харди.

Историческая справка

Шаблон:Falseredirect В 1806 году Ампер предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку Шаблон:Нп5. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привёл своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию:

<math>r(x) = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{\sin n^2 x}{n^2},</math>

однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Джозеф Гервер (Шаблон:Lang-en) доказал, что эта функция всё же имеет производную в некоторых рациональных точках, лишь в 1970 году.

В 1872 году Вейерштрасс предложил свой контрпример — описанную выше функцию <math>w</math> и представил строгое доказательство её недифференцируемости. В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П. Дюбуа-Реймона.

Ещё один пример принадлежит ван дер Вардену (1930):

<math>v(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\{10^n x\}}{10^n},</math>

где фигурные скобки означают взятие дробной части.

Литература

• Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
• Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
• Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985.