Русская Википедия:Функция Вейерштрасса
Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.
Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением
- <math>w(x) = \sum_{n=0}^\infty b^n \cos(a^n \pi x),</math>
где <math>a</math> — произвольное нечётное число, не равное единице, а <math>b</math> — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом
- <math>\sum_{n=0}^\infty b^n,</math>
поэтому функция <math>w</math> определена и непрерывна при всех вещественных <math>x</math>. Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при
- <math>ab > \tfrac{3}{2}\pi + 1.</math>
Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке <math>x_0</math> строят две последовательности <math>\{x_m\}</math> и <math>\{ y_m\}</math>, сходящиеся к точке <math>x_0</math>, и доказывают, что отношения
- <math>\frac{w(x_m) - w(x_0)}{x_m - x_0}</math> и <math>\frac{w(y_m) - w(x_0)}{y_m - x_0}</math>
имеют разные знаки по крайней мере при
- <math>ab > \tfrac{3}{2}\pi + 1</math> и <math>a > 1</math>.
Указанные последовательности могут быть определены как
- <math>x_m = \frac{\gamma_m - 1}{a^m}</math> и <math>y_m = \frac{\gamma_m + 1}{a^m},</math>
где <math>\gamma_m</math> — ближайшее целое число к <math>a^m x_0</math>.
Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях
- <math>ab \geqslant 1</math> и <math>a > 1</math>
Историческая справка
Шаблон:Falseredirect В 1806 году Ампер[2] предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку Шаблон:Нп5[3]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привёл своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию:
- <math>r(x) = \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{\sin n^2 x}{n^2},</math>
однако исследование дифференцируемости этой функции чрезвычайно сложно. Джозеф Гервер (Шаблон:Lang-en) доказал, что эта функция всё же имеет производную в некоторых рациональных точках, лишь в 1970 году[4].
В 1872 году Вейерштрасс предложил свой контрпример — описанную выше функцию <math>w</math> и представил строгое доказательство её недифференцируемости[5]. В печати этот пример впервые появился в 1875 году в работе П. Дюбуа-Реймона[6].
Ещё один пример принадлежит ван дер Вардену (1930):
- <math>v(x) = \sum \limits_{n=0}^\infty \frac{\{10^n x\}}{10^n},</math>
где фигурные скобки означают взятие дробной части[7].
Примечания
Литература
- Weierstrass K. Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
- Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
- Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва: Наука, 1985.
- ↑ Hardy G. H. Weierstrass’s nondifferentiable function // Trans — Amer. Math. Soc, 17 (1916), р. 301—325. Впрочем и Вейерштрасс упоминал это утверждение в письме к Дюбуа-Реймону в 1873 году, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
- ↑ Ampère, A. M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
- ↑ Рисс. Ф., С.-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. С. 13.
- ↑ Gerver J. // American Journal of Mathematics, Vol. 92, No. 1 (Jan., 1970), p. 33—55 Шаблон:Wayback.
- ↑ Доклад Вейерштрасса, прочитанный в Прусской академии наук 18 июля 1872 года, опубликован в собрании сочинений (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
- ↑ Du Bois-Reymond R. // J. für Math., 79 (1875), p. 21—37; Вейерштрасс был редактором этого журнала и сообщил о своём контрпримере в письме к Дюбуа-Реймону 23 ноября 1873 года, см.: Полубаринова-Кочина П. Я. Карл Вейерштрасс. Москва : Наука, 1985. с. 229.
- ↑ Van der Waerden B. L. // Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474—475.
