Электроника:Переменный ток/Реактанс и импеданс – Ёмкость/Последовательные резистивно-ёмкостные цепи

←Реактанс и импеданс – Ёмкость→

Содержание

Теория

Практика

Проверка знаний

Рецепты

Эксперименты

Резерв

Резерв

Резерв

Резерв

Перевод: Макаров В. (valemak)

Проверка/Оформление/Редактирование: Мякишев Е.А.

Последовательные резистивно-ёмкостные цепи

В предыдущей лекции мы узнали, что происходит в простых цепях переменного тока, помимо источника напряжения содержащих или только резистор или только конденсатор. Теперь мы объединим эти два компонента в последовательную цепь и посмотрим, что получится.

Рис. 1. Схема, в которой последовательно соединены резистор и конденсатор: напряжение отстаёт от тока в пределах от 0° до 90°.

Расчёт импеданса

Резистор обеспечивает сопротивление 5 Ом переменному току независимо от частоты напряжения, а конденсатор показывает -26,5258 Ом реактивного сопротивления переменному току при 60 Гц (значение реактанса взято из таблицы, приведённой в предыдущей лекции).

Поскольку сопротивление резистора является действительным числом («5 Ом 0°» или «5 + j0 Ом»), а реактивное сопротивление конденсатора – мнимым числом («26,5258 Ом ∠ -90°» или «0 - j26,5258 Ом»), совокупный эффект двух противодействующих току компонентов будет равен комплексной сумме двух чисел.

Для обозначения этого комплексного противодействия току используется термин «импеданс», соответствующий символ – «Z», единица измерения – Ом (как и для сопротивления и реактивного сопротивления). В приведённом выше примере полное сопротивление цепи составляет:

Рис. 2. Уравнение для полного сопротивления цепи. Импеданс = обычное сопротивление + реактанс.

Импеданс, подобно обычному сопротивлению, связан с напряжением и силой тока по закону Ома (впрочем, вы ведь так и ожидали, верно?):

Рис. 3. Закон Ома для цепей переменного тока. Всё также как и для обычного сопротивления, разве что все величины выражены в виде комплексных чисел.

Фактически, это более обобщённая форма закона Ома, чем та, что была, когда мы изучали постоянный ток (E = IR). Импеданс является гораздо более полным выражением сопротивления потоку электронов, чем простое сопротивление. Любое обычное сопротивление и любое реактивное сопротивление по отдельности или в комбинации (последовательно/параллельно) можно и до́лжно представить как единый импеданс.

Рассчитываем силу тока

Чтобы узнать силу тока в приведённой выше схеме, сначала нужно указать опорный фазовый угол для источника напряжения, который обычно считается равным нулю. (Фазовые углы резистивного и ёмкостного сопротивления всегда равны 0° и -90° соответственно, независимо от того, чему мы приняли равными фазовые углы для напряжения или силы тока.)

Рис. 4. Вычисляем общую силу тока с учётом напряжения источника питания и импеданса.

Как и в случае сугубо ёмкостной схемы, волна тока также опережает волну напряжения (на источнике питания), хотя на этот раз разница составляет 79,325° вместо полных 90°.

Рис. 5. Напряжение (на токоведущих проводах) по фазе отстаёт от тока в последовательной RC-цепи.

Табличный метод

Как мы узнали из предыдущей главы, где разбирались с индуктивным переменным током, «табличный» метод является очень полезным инструментом для анализа цепей переменного тока, как и для анализа цепей постоянного тока. Поместим известные значения в таблицу и продолжим анализ:

Рис. 6. Продолжим анализ нашей цепи табличным методом. Изначально нам известны общее напряжение, а также сопротивления. Также мы уже вычислили импеданс (как общее сопротивление цепи) и общую силу тока.

Ток в последовательной цепи одинаков для всех элементов, поэтому значение силы тока из столбца «Всего» можно продублировать и для остальных столбцов.

Затем, продолжая наш анализ, применяем закон Ома (E = IR) в первых двух столбцах. Таким образом мы определим напряжения на резисторе и конденсаторе:

Рис. 7. Продублируем общую силу тока для резистора и конденсатора. После этого для этих элементов цепи остаётся только с помощью закона Ома вычислить напряжение.

Обратите внимание на то, что напряжение на резисторе имеет тот же фазовый угол, что и сила тока, проходящего через этот резистор. Это говорит о том, что E и I находятся в фазе (и это верно только для резистора). Напряжение на конденсаторе имеет фазовый угол -10,675°, что ровно на 90° меньше фазового угла для силы тока в цепи. Это говорит о том, что напряжение и сила ток на конденсаторе не совпадают по фазе на 90° друг с другом.

Расчёты с использованием программы SPICE

Проверим с помощью программы SPICE наши расчёты:

Рис. 8. Нужно внести первоначальные данные в SPICE в соответствии с этой схемой.

ac r-c circuit
v1 1 0 ac 10 sin
r1 1 2 5
c1 2 0 100u
.ac lin 1 60 60
.print ac v(1,2) v(2,0) i(v1)
.print ac vp(1,2) vp(2,0) ip(v1)
.end

Вот что выдаст программа:

freq            v(1,2)       v(2)       i(v1)
6.000E+01       1.852E+00       9.827E+00       3.705E-01
 
freq            vp(1,2)       vp(2)       ip(v1)
6.000E+01       7.933E+01       -1.067E+01      -1.007E+02

Рис. 9. SPICE выдаёт результаты не в шибко читабельном виде, поэтому расшифруем ответ.

И снова SPICE якобы неправильно печатает текущий фазовый угол, у которого значение равно реальному фазовому углу плюс 180° (или минус 180°, что равноценно).

Однако несложно привести эту цифру к тому результату, что мы получили табличным методом и тем самым убедиться, что мы посчитали всё правильно. -100,7°, которые дал на выходе SPICE для текущего фазового угла эквивалентны положительному значению 79,3° (т.к. -100,7° = 79,3° - 180°).

Опять же, нелишним будет напомнить, что расчётные цифры будут соответствовать реальным измерениям напряжения и силы тока, если их представить в полярной, а не алгебраической форме записи!

Например, если бы мы действительно собрали эту последовательную цепь «резистор-конденсатор» и измерили напряжение на резисторе, наш вольтметр показал бы 1,8523 вольт, а не 343,11 милливольта (вещественная часть алгебраической записи) или 1,8203 вольта (мнимая часть алгебраической записи).

Реальные измерители, подключённые к реальным цепям, дают показания, соответствующие длине вектора (его величине) для вычисленных значений. Хотя алгебраическая запись комплексных чисел полезна для выполнения сложения и вычитания, это более абстрактная форма, чем полярная, которая сама по себе прямо соответствует истинным измерениям.

Импеданс (Z) последовательной RC-цепи может быть рассчитан с учётом сопротивления (R) и ёмкостного реактивного сопротивления (X_C). Поскольку E = IR, E = IX_C и E = IZ, то сопротивление, реактивное сопротивление и импеданс соответственно пропорциональны напряжению. Таким образом, векторная диаграмма для напряжения может быть заменена аналогичной диаграммой для импеданса.

Рис. 10. Векторная диаграмма импеданса для последовательной RC-цепи аналогична векторной диаграмме для напряжения.

Задача: Дано: резистор на 40 Ом последовательно соединён с конденсатором на 88,42 мкФ.

Найти: полное сопротивление для частоты напряжения 60 Гц.

ХС = 1/(2πfC)

XC = 1/(2π × 60 × 88,42 × 10-6)

XC = 30 Ом

Z = R - jXC

Z = 40 - j30

|Z| = sqrt(402 + (-30)2) = 50 Ом

∠Z = arctng(-30/40) = -36,87°

Z = 40 - j30 = 50 Ом ∠-36,87°

Итог

• Импеданс – это полная мера противодействия электрическому току и представляет собой комплексную (векторную) сумму обычного сопротивления (вещественная часть комплексного числа) и реактивного сопротивления (мнимая часть комплексного числа).
• При анализе последовательной цепи импеданс (Z) используется так же, как и обычное сопротивление (R): последовательные сопротивления складывается для получения общего импеданса. Только обязательно выполняйте все вычисления в комплексной (не скалярной) форме записи чисел! Z_Всего = Z₁ + Z₂ + … + Z_n.
• Обратите внимание, что импедансы всегда добавляются последовательно, независимо от того, что за тип у компонентов, составляющих импеданс. То есть резистивный импеданс, индуктивный импеданс и ёмкостной импеданс с точки зрения математики рассматриваются одинаково.
• Сугубо резистивный импеданс всегда будет иметь фазовый угол точно 0° (Z_R = R Ом ∠ 0°).
• Сугубо ёмкостный импеданс всегда будет иметь фазовый угол точно -90° (Z_C = X_C Ом ∠ -90 °).
• Закон Ома для цепей переменного тока: E = IZ; I = E/Z; Z = E/I.
• Когда в цепи присутствуют и резисторы и конденсаторы, общий импеданс будет иметь фазовый угол где-то в промежутке между 0° и -90°.

Внешние ссылки

←Реактанс и импеданс – Ёмкость→