Русская Википедия:Большие числа
Шаблон:Другие значения термина Шаблон:О Неформально (обычно в развлекательной математике и научно-популярной литературе) большими числами называют числа, значительно превосходящие числа, используемые в повседневной жизни. С XV века большими считались числа[1] больше тысячи, например миллион[2].
Изучение больших чисел и их номенклатуры иногда называются термином гугология (Шаблон:Lang-en)[3][4][5]. Термин был образован как комбинация слов «гугол» (классическое большое число) и «логос» (учение). Термин введён любителем математики Джонатаном Бауэрсом[4].
История
Несмотря на то что гугология — современный термин, история изучения человеком больших чисел уходит в глубокую древность.
III век до н. э. — Архимед в своём труде Псаммит представил нотацию, позволяющую записывать числа до <math>10^{8 \cdot 10^{16}}</math>[6]. В связи с этим его иногда называют первым «гугологистом»[4].
I век н. э. — В буддистском священном тексте Аватамсака-сутра было упомянуто число <math>\approx 10^{10^{32}}</math>
1928 год — Вильгельм Аккерман опубликовал свою функцию.
1940 год — Эдвард Казнер описал числа гугол (<math>10^{100}</math>) и гуголплекс (<math>10^{10^{100}}</math>)[7].
1947 год — Шаблон:Нп5 дал наименование операциям тетрации (<math>a \uparrow \uparrow b</math>), пентации (<math>a \uparrow \uparrow \uparrow b</math>) и гексации (<math>a \uparrow^4 b</math>)[8].
1970 год — С. Вайнер дал определение быстрорастущей иерархии[9].
1976 год — Дональд Кнут изобрёл стрелочную нотацию[10] (предел <math>\omega</math> в терминологии быстрорастущей иерархии).
1977 год — Мартин Гарднер в журнале Scientific American описал число Грэма[11] (<math>G=g(64)=f^{64}(4)</math>, где <math>f(n)=3\uparrow^n 3</math>. Функция <math>g(n)</math> имеет скорость роста порядка <math>\omega+1</math>).
1983 год — была изобретена нотация Штейнгауза — Мозера[12](предел <math>\omega</math>).
1995 год — Джон Конвей изобрёл цепную стрелочную нотацию[13](предел <math>\omega^2</math>).
2002 год — Д. Бауэрс (J. Bowers) опубликовал свои нотацию массива[14][15] (предел <math>\omega^\omega</math>) и расширенную нотацию массива (предел <math>\omega^{\omega^\omega}</math>).
2002 год — Шаблон:Нп5 дал определение функции TREE(n), имеющей скорость роста <math>\theta(\Omega^\omega \omega) </math>.
2006 год — Х. Фридман дал определение быстрорастущим функциям SCG(n) и SSCG(n).
2007 год — Д. Бауэрс определил ещё более мощную нотацию BEAF (данная нотация хорошо определена до <math>\varepsilon_0</math>, числа, превосходящие этот уровень, вызывают противоречивость оценок).
Список гугологизмов
Шаблон:Неавторитетные источники Математические объекты, имеющие отношения к гугологии (в том числе большие числа), называются гугологизмами. В настоящее время наименования даны для нескольких тысяч чисел, превосходящих гугол. Ниже приведён список некоторых гугологизмов и их выражения в наиболее известных нотациях[16]. Перед выражением в той нотации, в которой число было записано автором, стоит знак равенства, выражения для того же числа в других нотациях представляют собой аппроксимации.
| имя числа | степень
десяти |
нотация Кнута | нотация Конвея | Нотация Бауэрса | Нотация Сайбиана | быстрорастущая иерархия |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Гугол | <math>=10^{100}</math> | <math>10\uparrow 100</math> | <math>10\rightarrow 100</math> | <math>\{10,100\}</math> | <math>E100</math> | <math>f_2(324)</math> |
| Гуголплекс | <math>=10^{10^{100}}</math> | <math>10\uparrow 10\uparrow 100</math> | <math>10\rightarrow (10\rightarrow 100)</math> | <math>\{10,\{10,100\}\}</math> | <math>E100\#2</math> | <math>f_2^2(324)</math> |
| Гиггол (Giggol) | <math>\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}}_{\text{100 десяток}}</math> | <math>10\uparrow^2 100</math> | <math>10\rightarrow 100\rightarrow 2</math> | <math>=\{10,100,2\}</math> | <math>E1\#100</math> | <math>f_3(100)</math> |
| Гаггол (Gaggol) | <math> \left.
\begin{matrix}
&&\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}}\\
& &\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}} \\
& & \underbrace{\quad \quad \;\; \vdots \quad \quad\;\;}\\
& &\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}} \\
& &\text{10 десяток}
\end{matrix}
\right \} \text {100 }</math> |
<math>10\uparrow^3 100</math> | <math>10\rightarrow 100\rightarrow 3</math> | <math>=\{10,100,3\}</math> | <math>E1\#1\#100</math> | <math>f_4(100)</math> |
| Бугол (Boogol) | <math>10\uparrow^{100} 10</math> | <math>10\rightarrow 10\rightarrow 100</math> | <math>=\{10,10,100\}</math> | <math>E100\#\#100</math> | <math>f_{101}(100)</math> | |
| Число Грэма | <math>= \left.
\begin{matrix}
&&\underbrace{3 \uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3}\\
& &\underbrace{3 \uparrow \uparrow \cdots\uparrow \uparrow 3} \\
& & \underbrace{\quad \quad \;\; \vdots \quad \quad\;\;}\\
& &\underbrace{3 \uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\
& &3 \uparrow^4 3 \text{стрелок}
\end{matrix}
\right \} \text {64 }</math> |
<math>3\rightarrow 3\rightarrow 64 \rightarrow 2</math> | <math>\{3,65,1,2\}</math> | <math>E(3)3\#\#4\#64</math> | <math>f_{\omega+1}(64)</math> | |
| Траддом (Traddom)[17] | <math>10\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 4</math> | <math>\{10,10,3,2\}</math> | <math>E10\#\#10\#\#4</math> | <math>=f_{\omega+3}(10)</math> | ||
| Биггол (Biggol) | <math>10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 100</math> | <math>=\{10,10,100,2\}</math> | <math>E100\#\#100\#\#100</math> | <math>f_{\omega.2}(100)</math> | ||
| Трултом (Trultom) | <math>10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 10 \rightarrow 11</math> | <math>\{10,10,10,3\}</math> | <math>E10\#\#\#4</math> | <math>=f_{\omega.3}(10)</math> | ||
| Тругол (Troogol) | <math>\underbrace{10\rightarrow 10\rightarrow \cdots\rightarrow 10}_{101 \quad \rightarrow}</math> | <math>=\{10,10,10,100\}</math> | <math>E100\#\#\#100</math> | <math>f_{\omega^2}(100)</math> |
Числа, приведённые ниже, находятся уже за пределами применения нотаций Кнута и Конвея.
| имя числа | нотация Бауэрса
(BEAF) |
нотация Сайбиана | быстрорастущая |
|---|---|---|---|
| Квадругол (Quadroogol) | <math>=\{10,10,10,10,100\}</math> | <math>E100\#\#\#\#100</math> | <math>f_{\omega^3}(100)</math> |
| Квадрексом (Quadrexom) | <math>\{10,10,10,10,10,10\}</math> | <math>E10\#\#\#\#\#10</math> | <math>=f_{\omega^4}(10)</math> |
| Квинтугол (Quintoogol) | <math>=\{10,10,10,10,10,100\}</math> | <math>E100\#\#\#\#\#100</math> | <math>f_{\omega^4}(100)</math> |
| Губол (Goobol) | <math>=\{10,100(1)2\}=</math>
<math>=\underbrace{\{10,10,10,\cdots,10,10\}}_{100 \quad \text{десяток}}</math> |
<math>E100\#^{99}100</math> | <math>f_{\omega^{98}}(100)</math> |
| Бубол (Boobol) | <math>=\{10,10,100(1)2\}</math> | E100#^#100##100 | <math>f_{\omega^{\omega}+99}(100)</math> |
| Трубол (Troobol) | <math>=\{10,10,10,100(1)2\}</math> | E100#^#100###101 | <math>f_{\omega^{\omega}+\omega^{2}}(100)</math> |
| Квадрубол (Quadroobol) | <math>=\{10,10,10,10,100(1)2\}</math> | E100#^#100####101 | <math>f_{\omega^{\omega}+\omega^{3}}(100)</math> |
| Гутрол (Gootrol) | <math>=\{10,100(1)3\}</math> | E100#^#100#^#100 | <math>f_{\omega^{\omega}.2}(100)</math> |
| Госсол (Gossol) | <math>=\{10,10(1)100\}</math> | E100#^#*#100 | <math>f_{\omega^{\omega+1}}(100)</math> |
| Моссол (Mossol) | <math>=\{10,10(1)10,100\}</math> | E100#^#*##100 | <math>f_{\omega^{\omega+2}}(100)</math> |
| Боссол (Bossol) | <math>=\{10,10(1)10,10,100\}</math> | E100#^#*###100 | <math>f_{\omega^{\omega+3}}(100)</math> |
| Троссол (Trossol) | <math>=\{10,10(1)10,10,10,100\}</math> | E100#^#*####100 | <math>f_{\omega^{\omega+4}}(100)</math> |
| Дубол (Dubol) | <math>=\{10,100(1)(1)2\}</math> | E100#^#*#^#100 | <math>f_{\omega^{\omega.2}}(100)</math> |
| Дутрол (Dutrol) | <math>=\{10,100(1)(1)3\}</math> | E100#^#*#^#100#^#*#^#100 | <math>f_{\omega^{\omega.2}.2}(100)</math> |
| Колоссол (Colossol) | <math>=\{10,10(3)2\}</math> | E10#^###10 | <math>f_{\omega^{\omega^3}}(10)</math> |
| Тероссол (Terossol) | <math>=\{10,10(4)2\}</math> | E10#^####10 | <math>f_{\omega^{\omega^4}}(10)</math> |
| Петоссол (Petossol) | <math>=\{10,10(5)2\}</math> | E10#^#####10 | <math>f_{\omega^{\omega^5}}(10)</math> |
| Гонгулус (Gongulus) | <math>=\{10,10(100)2\}</math> | E10#^#^#100 | <math>f_{\omega^{\omega^{100}}}(10)</math> |
| Годтосол (Godtothol) | <math>\{100,100 ((1) 1) 2\}</math> | =E100#^#^#^#100 | <math>f_{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}(100)</math> |
| Годтопол (Godtopol) | <math>\{100,100 (((1) 1) 1) 2\}</math> | =E100#^#^#^#^#^#100 | <math>f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)</math> |
| Годоктол (Godoctol) | <math>\{100,100 ((((0,1) 1) 1) 1) 2\}</math> | =E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100 | <math>f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)</math> |
| Декотетром (Dekotetrom) | <math>X\uparrow^2 9 \& 10</math> | E10#^^#10 | <math>=f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)</math> |
| Гоппатос (Goppatoth) | <math>=10\uparrow\uparrow 100\& 10</math> | E10#^^#101 | <math>f_{\varepsilon_0}(101)</math> |
| Тесракросс (Tethracross) | <math>X\uparrow^3 X^2 \& 100</math> | =E100#^^##100 | <math>f_{\zeta_0}(100)</math> |
| Тесракубор (Tethracubor) | <math>X\uparrow^4 101 \& 100</math> | =E100#^^###100 | <math>f_{\eta_0}(100)</math> |
| Тесратерон (Tethrateron) | <math>X\uparrow^5 101 \& 100</math> | =E100#^^####100 | <math>f_{\varphi(4,0)}(100)</math> |
| Пентаксулум (Pentacthulhum) | <math>\{X,X,1,2\}\&100</math> | =E100#^^^#100 | <math>f_{\Gamma_0}(99)</math> |
| Гексаксулум (Hexacthulhum) | <math>\{X,X,1,3\}\&100</math> | =E100#^^^^#100 | <math>f_{\varphi(2,0,0)}(99)</math> |
| Годсгодгулус (Godsgodgulus) | <math>\{X,X,1,99\}\&100</math> | =E100#{100}#100 | <math>f_{\varphi(98,0,0)}(99)</math> |
| TREE(3) | <math>f_{\theta(\Omega^\omega \omega)}(3)</math> | ||
| SCG(13) | <math>f_{\psi_\Omega(\Omega_\omega)}(13)</math> |
Применение больших чисел в других областях науки
- Диаметр видимой части Вселенной <math>8,8 \times 10^{26}</math>м
- Число атомов в видимой части Вселенной <math>\approx 10^{80}</math> (по разным оценкам от Шаблон:Val до Шаблон:Val).
- Число объёмов Планка (<math>l_P^3</math>, где <math>l_P=1,6 \times 10^{-35}</math>м — планковская длина) в видимой части Вселенной <math>\approx 4,7 \times 10^{184}</math>
- Диаметр Вселенной в соответствии с некоторыми инфляционными моделями <math>\approx 10^{10^{12}}</math>м
- Возможное число вселенных в мультиверсуме по оценке А. Линде и В. Ванчурина в соответствии с хаотической теорией инфляции <math>10^{10^{10^7}}</math>[18].
- Вероятность того, что в 1 см³ обычного воздуха вследствие случайного хаотического движения молекул объём 1 мм³ в течение 1 секунды будет оставаться абсолютно пустым <math>1/10^{10^{13}}</math> (что соответствует времени ожидания <math>10^{10^{13}}</math> с.)[19]
- Время ожидания появления больцмановского мозга в результате квантовой флуктуации в де-ситтеровском вакууме <math>\approx 10^{10^{50}}</math> лет[20].
- Время возвращения Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, вмещающего чёрную дыру, масса которой равна массе Вселенной согласно некоторым инфляционным моделям <math>\approx 10^{10^{10^{10^{10^{1,1}}}}}</math> лет[21][22].
- Число Грэма — верхняя граница для наименьшего числа измерений гиперкуба, при котором двухцветная раскраска линий, соединяющих все пары вершин этого куба, обязательно содержит одноцветный 4-вершинный копланарный полный подграф
- TREE(3)
- Шаблон:Нп5
Примечания
Литература
Ссылки
- Googology — статья в Googology Wiki.
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга «The study of large numbers is called googology»
- ↑ 4,0 4,1 4,2 Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Книга The relevant passage about the googol and googolplex, attributing both of these names to Kasner’s nine-year-old nephew, is available in Шаблон:Книга
- ↑ Goodstein, R. L. (1947). «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory». Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123—129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486 Шаблон:Wayback.
- ↑ Löb, M.H. and Wainer, S.S., "Hierarchies of Number Theoretic Functions I, II: A Correction, " Arch. Math. Logik Grundlagenforschung 14, 1970 pp. 198—199.
- ↑ Knuth, D. E. (1976) «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness.» Шаблон:Wayback Science 194, 1235—1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235
- ↑ Gardner, M. (1977) «Mathematical games: In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths» Шаблон:Wayback Scientific American 237(5), 18-28. doi:10.1038/scientificamerican1177-18.
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Conway, J. H. (1995) PDF Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Шаблон:Cite web
- ↑ Г. Линдер. Картины современной физики. М.: Мир, 1977
- ↑ Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the Cosmological Constant Problem Шаблон:Wayback // Andrei Linde 2007, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 01(2007)022 doi:10.1088/1475-7516/2007/01/022
- ↑ Information Loss in Black Holes and/or Conscious Beings?, Don N. Page, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity (1995), S. A. Fulling (ed), p. 461. Discourses in Mathematics and its Applications, No. 4, Texas A&M University Department of Mathematics. Шаблон:Arxiv. ISBN 0-9630728-3-8.
- ↑ Шаблон:Cite web
