Русская Википедия:Большие числа

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Другие значения термина Шаблон:О Неформально (обычно в развлекательной математике и научно-популярной литературе) большими числами называют числа, значительно превосходящие числа, используемые в повседневной жизни. С XV века большими считались числа[1] больше тысячи, например миллион[2].

Изучение больших чисел и их номенклатуры иногда называются термином гугология (Шаблон:Lang-en)[3][4][5]. Термин был образован как комбинация слов «гугол» (классическое большое число) и «логос» (учение). Термин введён любителем математики Джонатаном Бауэрсом[4].

История

Несмотря на то что гугология — современный термин, история изучения человеком больших чисел уходит в глубокую древность.

III век до н. э. — Архимед в своём труде Псаммит представил нотацию, позволяющую записывать числа до <math>10^{8 \cdot 10^{16}}</math>[6]. В связи с этим его иногда называют первым «гугологистом»[4].

I век н. э. — В буддистском священном тексте Аватамсака-сутра было упомянуто число <math>\approx 10^{10^{32}}</math>

1928 год — Вильгельм Аккерман опубликовал свою функцию.

1940 год — Эдвард Казнер описал числа гугол (<math>10^{100}</math>) и гуголплекс (<math>10^{10^{100}}</math>)[7].

1947 год — Шаблон:Нп5 дал наименование операциям тетрации (<math>a \uparrow \uparrow b</math>), пентации (<math>a \uparrow \uparrow \uparrow b</math>) и гексации (<math>a \uparrow^4 b</math>)[8].

1970 год — С. Вайнер дал определение быстрорастущей иерархии[9].

1976 год — Дональд Кнут изобрёл стрелочную нотацию[10] (предел <math>\omega</math> в терминологии быстрорастущей иерархии).

1977 год — Мартин Гарднер в журнале Scientific American описал число Грэма[11] (<math>G=g(64)=f^{64}(4)</math>, где <math>f(n)=3\uparrow^n 3</math>. Функция <math>g(n)</math> имеет скорость роста порядка <math>\omega+1</math>).

1983 год — была изобретена нотация Штейнгауза — Мозера[12](предел <math>\omega</math>).

1995 год — Джон Конвей изобрёл цепную стрелочную нотацию[13](предел <math>\omega^2</math>).

2002 год — Д. Бауэрс (J. Bowers) опубликовал свои нотацию массива[14][15] (предел <math>\omega^\omega</math>) и расширенную нотацию массива (предел <math>\omega^{\omega^\omega}</math>).

2002 год — Шаблон:Нп5 дал определение функции TREE(n), имеющей скорость роста <math>\theta(\Omega^\omega \omega) </math>.

2006 год — Х. Фридман дал определение быстрорастущим функциям SCG(n) и SSCG(n).

2007 год — Д. Бауэрс определил ещё более мощную нотацию BEAF (данная нотация хорошо определена до <math>\varepsilon_0</math>, числа, превосходящие этот уровень, вызывают противоречивость оценок).

Список гугологизмов

Шаблон:Неавторитетные источники Математические объекты, имеющие отношения к гугологии (в том числе большие числа), называются гугологизмами. В настоящее время наименования даны для нескольких тысяч чисел, превосходящих гугол. Ниже приведён список некоторых гугологизмов и их выражения в наиболее известных нотациях[16]. Перед выражением в той нотации, в которой число было записано автором, стоит знак равенства, выражения для того же числа в других нотациях представляют собой аппроксимации.

имя числа степень

десяти

нотация Кнута нотация Конвея Нотация Бауэрса

(нотация массива)

Нотация Сайбиана

(гипер-E нотация)

быстрорастущая иерархия
Гугол <math>=10^{100}</math> <math>10\uparrow 100</math> <math>10\rightarrow 100</math> <math>\{10,100\}</math> <math>E100</math> <math>f_2(324)</math>
Гуголплекс <math>=10^{10^{100}}</math> <math>10\uparrow 10\uparrow 100</math> <math>10\rightarrow (10\rightarrow 100)</math> <math>\{10,\{10,100\}\}</math> <math>E100\#2</math> <math>f_2^2(324)</math>
Гиггол (Giggol) <math>\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}}_{\text{100 десяток}}</math> <math>10\uparrow^2 100</math> <math>10\rightarrow 100\rightarrow 2</math> <math>=\{10,100,2\}</math> <math>E1\#100</math> <math>f_3(100)</math>
Гаггол (Gaggol) <math> \left. 
\begin{matrix} 
   &&\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}}\\
   & &\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}} \\ 
   & & \underbrace{\quad \quad \;\; \vdots \quad \quad\;\;}\\ 
   & &\underbrace{10^{10^{10^{\cdots^{10^{10}}}}}} \\
   & &\text{10 десяток}
\end{matrix}

\right \} \text {100 }</math>

<math>10\uparrow^3 100</math> <math>10\rightarrow 100\rightarrow 3</math> <math>=\{10,100,3\}</math> <math>E1\#1\#100</math> <math>f_4(100)</math>
Бугол (Boogol) <math>10\uparrow^{100} 10</math> <math>10\rightarrow 10\rightarrow 100</math> <math>=\{10,10,100\}</math> <math>E100\#\#100</math> <math>f_{101}(100)</math>
Число Грэма <math>= \left. 
\begin{matrix} 
   &&\underbrace{3 \uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3}\\
   & &\underbrace{3 \uparrow \uparrow \cdots\uparrow \uparrow 3} \\ 
   & & \underbrace{\quad \quad \;\; \vdots \quad \quad\;\;}\\ 
   & &\underbrace{3 \uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\
   & &3  \uparrow^4 3  \text{стрелок}
\end{matrix}

\right \} \text {64 }</math>

<math>3\rightarrow 3\rightarrow 64 \rightarrow 2</math> <math>\{3,65,1,2\}</math> <math>E(3)3\#\#4\#64</math> <math>f_{\omega+1}(64)</math>
Траддом (Traddom)[17] <math>10\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 4</math> <math>\{10,10,3,2\}</math> <math>E10\#\#10\#\#4</math> <math>=f_{\omega+3}(10)</math>
Биггол (Biggol) <math>10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 100</math> <math>=\{10,10,100,2\}</math> <math>E100\#\#100\#\#100</math> <math>f_{\omega.2}(100)</math>
Трултом (Trultom) <math>10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 10 \rightarrow 11</math> <math>\{10,10,10,3\}</math> <math>E10\#\#\#4</math> <math>=f_{\omega.3}(10)</math>
Тругол (Troogol) <math>\underbrace{10\rightarrow 10\rightarrow \cdots\rightarrow 10}_{101 \quad \rightarrow}</math> <math>=\{10,10,10,100\}</math> <math>E100\#\#\#100</math> <math>f_{\omega^2}(100)</math>

Числа, приведённые ниже, находятся уже за пределами применения нотаций Кнута и Конвея.

имя числа нотация Бауэрса

(BEAF)

нотация Сайбиана быстрорастущая

иерархия

Квадругол (Quadroogol) <math>=\{10,10,10,10,100\}</math> <math>E100\#\#\#\#100</math> <math>f_{\omega^3}(100)</math>
Квадрексом (Quadrexom) <math>\{10,10,10,10,10,10\}</math> <math>E10\#\#\#\#\#10</math> <math>=f_{\omega^4}(10)</math>
Квинтугол (Quintoogol) <math>=\{10,10,10,10,10,100\}</math> <math>E100\#\#\#\#\#100</math> <math>f_{\omega^4}(100)</math>
Губол (Goobol) <math>=\{10,100(1)2\}=</math>

<math>=\underbrace{\{10,10,10,\cdots,10,10\}}_{100 \quad \text{десяток}}</math>

<math>E100\#^{99}100</math> <math>f_{\omega^{98}}(100)</math>
Бубол (Boobol) <math>=\{10,10,100(1)2\}</math> E100#^#100##100 <math>f_{\omega^{\omega}+99}(100)</math>
Трубол (Troobol) <math>=\{10,10,10,100(1)2\}</math> E100#^#100###101 <math>f_{\omega^{\omega}+\omega^{2}}(100)</math>
Квадрубол (Quadroobol) <math>=\{10,10,10,10,100(1)2\}</math> E100#^#100####101 <math>f_{\omega^{\omega}+\omega^{3}}(100)</math>
Гутрол (Gootrol) <math>=\{10,100(1)3\}</math> E100#^#100#^#100 <math>f_{\omega^{\omega}.2}(100)</math>
Госсол (Gossol) <math>=\{10,10(1)100\}</math> E100#^#*#100 <math>f_{\omega^{\omega+1}}(100)</math>
Моссол (Mossol) <math>=\{10,10(1)10,100\}</math> E100#^#*##100 <math>f_{\omega^{\omega+2}}(100)</math>
Боссол (Bossol) <math>=\{10,10(1)10,10,100\}</math> E100#^#*###100 <math>f_{\omega^{\omega+3}}(100)</math>
Троссол (Trossol) <math>=\{10,10(1)10,10,10,100\}</math> E100#^#*####100 <math>f_{\omega^{\omega+4}}(100)</math>
Дубол (Dubol) <math>=\{10,100(1)(1)2\}</math> E100#^#*#^#100 <math>f_{\omega^{\omega.2}}(100)</math>
Дутрол (Dutrol) <math>=\{10,100(1)(1)3\}</math> E100#^#*#^#100#^#*#^#100 <math>f_{\omega^{\omega.2}.2}(100)</math>
Колоссол (Colossol) <math>=\{10,10(3)2\}</math> E10#^###10 <math>f_{\omega^{\omega^3}}(10)</math>
Тероссол (Terossol) <math>=\{10,10(4)2\}</math> E10#^####10 <math>f_{\omega^{\omega^4}}(10)</math>
Петоссол (Petossol) <math>=\{10,10(5)2\}</math> E10#^#####10 <math>f_{\omega^{\omega^5}}(10)</math>
Гонгулус (Gongulus) <math>=\{10,10(100)2\}</math> E10#^#^#100 <math>f_{\omega^{\omega^{100}}}(10)</math>
Годтосол (Godtothol) <math>\{100,100 ((1) 1) 2\}</math> =E100#^#^#^#100 <math>f_{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}(100)</math>
Годтопол (Godtopol) <math>\{100,100 (((1) 1) 1) 2\}</math> =E100#^#^#^#^#^#100 <math>f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)</math>
Годоктол (Godoctol) <math>\{100,100 ((((0,1) 1) 1) 1) 2\}</math> =E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100 <math>f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)</math>
Декотетром (Dekotetrom) <math>X\uparrow^2 9 \& 10</math> E10#^^#10 <math>=f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)</math>
Гоппатос (Goppatoth) <math>=10\uparrow\uparrow 100\& 10</math> E10#^^#101 <math>f_{\varepsilon_0}(101)</math>
Тесракросс (Tethracross) <math>X\uparrow^3 X^2 \& 100</math> =E100#^^##100 <math>f_{\zeta_0}(100)</math>
Тесракубор (Tethracubor) <math>X\uparrow^4 101 \& 100</math> =E100#^^###100 <math>f_{\eta_0}(100)</math>
Тесратерон (Tethrateron) <math>X\uparrow^5 101 \& 100</math> =E100#^^####100 <math>f_{\varphi(4,0)}(100)</math>
Пентаксулум (Pentacthulhum) <math>\{X,X,1,2\}\&100</math> =E100#^^^#100 <math>f_{\Gamma_0}(99)</math>
Гексаксулум (Hexacthulhum) <math>\{X,X,1,3\}\&100</math> =E100#^^^^#100 <math>f_{\varphi(2,0,0)}(99)</math>
Годсгодгулус (Godsgodgulus) <math>\{X,X,1,99\}\&100</math> =E100#{100}#100 <math>f_{\varphi(98,0,0)}(99)</math>
TREE(3) <math>f_{\theta(\Omega^\omega \omega)}(3)</math>
SCG(13) <math>f_{\psi_\Omega(\Omega_\omega)}(13)</math>

Применение больших чисел в других областях науки

Космология
Статистическая механика
Теория графов
  • Число Грэма — верхняя граница для наименьшего числа измерений гиперкуба, при котором двухцветная раскраска линий, соединяющих все пары вершин этого куба, обязательно содержит одноцветный 4-вершинный копланарный полный подграф
  • TREE(3)
  • Шаблон:Нп5

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

  • Googology — статья в Googology Wiki.

Шаблон:Гугология

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Книга
  2. ↑ Шаблон:Книга
  3. ↑ Шаблон:Книга «The study of large numbers is called googology»
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 Шаблон:Книга
  5. ↑ Шаблон:Cite web
  6. ↑ Шаблон:Cite web
  7. ↑ Шаблон:Книга The relevant passage about the googol and googolplex, attributing both of these names to Kasner’s nine-year-old nephew, is available in Шаблон:Книга
  8. ↑ Goodstein, R. L. (1947). «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory». Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123—129. doi:10.2307/2266486. JSTOR 2266486 Шаблон:Wayback.
  9. ↑ Löb, M.H. and Wainer, S.S., "Hierarchies of Number Theoretic Functions I, II: A Correction, " Arch. Math. Logik Grundlagenforschung 14, 1970 pp. 198—199.
  10. ↑ Knuth, D. E. (1976) «Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness.» Шаблон:Wayback Science 194, 1235—1242. doi:10.1126/science.194.4271.1235
  11. ↑ Gardner, M. (1977) «Mathematical games: In which joining sets of points leads into diverse (and diverting) paths» Шаблон:Wayback Scientific American 237(5), 18-28. doi:10.1038/scientificamerican1177-18.
  12. ↑ Шаблон:Cite web
  13. ↑ Conway, J. H. (1995) PDF Шаблон:Wayback
  14. ↑ Шаблон:Cite web
  15. ↑ Шаблон:Cite web
  16. ↑ Шаблон:Cite web
  17. ↑ Шаблон:Cite web
  18. ↑ Шаблон:Cite web
  19. ↑ Г. Линдер. Картины современной физики. М.: Мир, 1977
  20. ↑ Sinks in the Landscape, Boltzmann Brains, and the Cosmological Constant Problem Шаблон:Wayback // Andrei Linde 2007, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 01(2007)022 doi:10.1088/1475-7516/2007/01/022
  21. ↑ Information Loss in Black Holes and/or Conscious Beings?, Don N. Page, Heat Kernel Techniques and Quantum Gravity (1995), S. A. Fulling (ed), p. 461. Discourses in Mathematics and its Applications, No. 4, Texas A&M University Department of Mathematics. Шаблон:Arxiv. ISBN 0-9630728-3-8.
  22. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Большие_числа&oldid=9232566