Русская Википедия:Вложение Куратовского
Вложение Куратовского — определённое изометрическое вложение метрического пространства в банахово пространство непрерывных ограниченных функций на нём.
Построение
Пусть <math>X</math> есть метрическое пространство и <math>p\in X</math>. Обозначим через <math>dist_x:X\to \R</math> функцию расстояния от <math>x</math> в <math>X</math>. Обозначим через <math>C_b(X)</math> банахово пространство ограниченных непрерывных функций и нормой супремума, тогда изометрическое вложение
- <math>\Phi_p: X \to C_b(X)</math>
определённое как
- <math>\Phi_p(x) = dist_x-dist_p </math>
называется вложением Куратовского.
Замечания
- В случае если <math>X</math> имеет конечный диаметр, отображение <math>\Phi_p: X \to C_b(X)</math>,
- <math>\Phi(x) = dist_x </math>
- также называется вложением Куратовского.
История
Отображение впервые рассмотрено Куратовским в 1935 году[1], однако практически такое же вложение с незначительной вариацией фигурировало в статье Фреше 1906 года[2], где он впервые ввёл понятие метрического пространства.
Применения
- Аналог вложения Куратовского даёт возможность рассматривать все компактные метрические пространства как подмножества одного универсального пространства. Этот факт используется в одном из определений сходимости по Громову — Хаусдорфу.
Литература