Русская Википедия:Вложение Куратовского

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Вложение Куратовского — определённое изометрическое вложение метрического пространства в банахово пространство непрерывных ограниченных функций на нём.

Построение

Пусть <math>X</math> есть метрическое пространство и <math>p\in X</math>. Обозначим через <math>dist_x:X\to \R</math> функцию расстояния от <math>x</math> в <math>X</math>. Обозначим через <math>C_b(X)</math> банахово пространство ограниченных непрерывных функций и нормой супремума, тогда изометрическое вложение

<math>\Phi_p: X \to C_b(X)</math>

определённое как

<math>\Phi_p(x) = dist_x-dist_p </math>

называется вложением Куратовского.

Замечания

• В случае если <math>X</math> имеет конечный диаметр, отображение <math>\Phi_p: X \to C_b(X)</math>,

  <math>\Phi(x) = dist_x </math>

также называется вложением Куратовского.

История

Отображение впервые рассмотрено Куратовским в 1935 году, однако практически такое же вложение с незначительной вариацией фигурировало в статье Фреше 1906 года, где он впервые ввёл понятие метрического пространства.

Применения

• Аналог вложения Куратовского даёт возможность рассматривать все компактные метрические пространства как подмножества одного универсального пространства. Этот факт используется в одном из определений сходимости по Громову — Хаусдорфу.