Русская Википедия:Алгоритм Катмулла — Кларка

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Catmull-Clark subdivision of a cube.svg
Первые три шага подразделения куба методом Катмулла — Кларка и предельная поверхность (внизу)

Алгоритм Катмулла — Кларка — это техника, используемая в компьютерной графике для создания гладких поверхностей путём моделирования Шаблон:Не переведено 5. Алгоритм разработали Эдвин Катмулл и Джеймс Кларк в 1978 как обобщение бикубических однородных B-сплайновых поверхностей для произвольной топологииШаблон:Sfn. В 2005 году Эдвин Катмулл получил Шаблон:Не переведено 5 вместе с Тони Дероузом и Шаблон:Не переведено 5 за их разработки в области подразделения поверхностей.

Рекурсивные вычисления

Поверхности Катмулла — Кларка определяются рекурсивно, используя следующую схему последовательных уточненийШаблон:Sfn:

Начинаем с сетки в виде произвольного многогранника. Все вершины этой сетки будем называть исходными точками.

  • Для каждой грани добавляем точку грани
    • Выбираем в качестве точки грани среднее всех исходных точек соответствующей грани.
  • Для каждого ребра добавляем точку ребра.
    • Выбираем в качестве точки ребра среднее из двух соседних точек грани и двух исходных конечных точек ребра.
  • Для каждой точки грани, добавим ребро для каждого ребра грани, соединяя точку грани с точкой ребра для грани.
  • Для каждой исходной точки P берём среднее F для всех n (вновь созданных) точек граней для граней, касающихся P, и берём среднее R всех n точек рёбер для (исходных) рёбер, касающихся P, где середина каждого ребра является средним двух конечных вершин (не путать с новыми «точками рёбер», определёнными выше). Переносим каждую исходную точку в точку
<math>\frac{F + 2R + (n-3)P}{n}.</math>
Эта точка является барицентром точек P, R и F с весами (n − 3), 2 и 1.
  • Соединяем каждую новую точку с новыми точками рёбер всех исходных рёбер, инцидентных исходной вершине.
  • Определяем новые грани, заключённые новыми рёбрами.

Новая сетка состоит только из четырёхугольников, которые, вообще говоря, не находятся в одной плоскости. Новая сетка, в общем случае, будет выглядеть более гладко, чем исходная.

Повторное подразбиение приводит к более гладкой сетке. Можно показать, что предельная поверхность, полученная этим методом, по меньшей мере принадлежит классу <math>\mathcal{C}^1</math> в особых точках и <math>\mathcal{C}^2</math> во всех остальных местах (здесь n означает число непрерывных производных, когда мы говорим о <math>\mathcal{C}^n</math>). После итерации число особых точек на поверхности не изменяется.

Формулу для барицентра Катмулл и Кларк выбрали, исходя из эстетических, а не математических, соображений, хотя Катмулл и Кларк приложили большие усилия, чтобы строго доказать, что метод сходится к бикубическим B-сплайновым поверхностямШаблон:Sfn.

Точные вычисления

Результирующая подразделённая поверхность Катмулла — Кларка может быть получена прямо без последовательных улучшений. Это можно сделать с помощью техники Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Этот метод переформулирует процесс последовательных приближений в задачу вычисления экспоненты матрицы, которую можно решить путём диагонализации матрицы.

Программное обеспечение, использующее подразделение поверхностей методом Катмулла — Кларка

Шаблон:Colbegin

Шаблон:Colend

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Литература для дальнейшего чтения

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Cite web
  2. ↑ Шаблон:Книга
  3. ↑ Шаблон:Cite web
  4. ↑ Шаблон:Cite web
  5. ↑ Шаблон:Cite web
  6. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Алгоритм_Катмулла_—_Кларка&oldid=8940080