Русская Википедия:Аналогия Рейнольдса
Шаблон:Другие значения термина Аналогия Рейнольдса — аналогия между переносом тепла и трением.
Математическое описание
Рассмотрим уравнения движения и теплопереноса (при условии, что пользуемся приближением пограничного слоя и отсутствует градиент давления):
- <math>\rho \left( u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} \right ) = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2},</math>
- <math>\rho C_p \left( u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} \right ) = k \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.</math>
Обезразмерим их соответственно множителями <math>1/{\rho_\infty U_\infty l}</math> и <math>1/{\rho_\infty C_p U_\infty l}</math>, где l — характерный размер задачи:
- <math>u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{\mathrm{Re}} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2},</math>
- <math>u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} = \frac{1}{\mathrm{Re} \mathrm{Pr}} \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}.</math>
Решив эти уравнения, получим выражения для нарастания динамического и теплового пограничных слоёв:
- <math>\frac{\delta}{l} \sim \frac{1}{\sqrt{\mathrm{Re}}},</math>
- <math>\frac{\delta_T}{l} \sim \frac{1}{\sqrt{\mathrm{Re} } \sqrt[3]{\mathrm{Pr}}}.</math>
Отсюда следует, что
- <math>\frac{\delta_T}{\delta} = \frac{1}{\sqrt[3]{\mathrm{Pr}}}.</math>
Применительно к газам это соотношение указывает на отсутствие большой разницы между толщиной теплового и динамического пограничных слоёв. Полученные соотношения иногда также называют аналогией Рейнольдса, однако, их стоит рассмотреть глубже. Запишем безразмерный коэффициент трения в следующем виде:
- <math>C_f = \frac{\tau_w}{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2} \sim \frac{1}{\sqrt{\mathrm{Re}}},</math>
где <math>\tau_w = \mu \left(\frac{\partial u}{\partial y} \right )</math> — местное касательное напряжение на стенке. Сопоставляя это соотношение с соотношениями для числа Нуссельта, получаем
- <math>\mathrm{Nu} = \frac{1}{2}C_f \mathrm{Re} \cdot f({\mathrm{Pr}}).</math>
Это выражение и есть суть аналогии Рейнольдса.
В инженерной практике вместо числа Нуссельта часто используется число Стантона, величина которого также пропорциональна коэффициенту теплопередачи. Пользуясь теми же соотношениями, можно получить, что
- <math>\mathrm{St} = \frac{C_f}{2} f(\mathrm{Pr}).</math>
Таким образом, можно сделать вывод о том, что без трения нет теплообмена. Для пластины поток тепла можно выразить следующей формулой:
- <math>q = \frac{C_f}{2}C_p\rho U_\infty \Delta T.</math>
Выводы
С ростом потока массы пропорционально возрастает величина теплового потока, однако сопротивление трения повышается пропорционально квадрату скорости, т. е. при такой интенсификации теплообмена его эффективность по отношению к гидравлическим потерям понижается.
Возрастает величина теплового потока при повышении плотности и теплоёмкости. Для реализации этого воздействия можно использовать вещества с высоким значением произведения <math>\rho C_p</math> (вода, жидкие металлы), а также повышать давление газовой среды.
Наиболее распространенным способом интенсификации теплообмена является повышение коэффициента трения или общего гидравлического сопротивления теплообменного устройства. Для этого на поверхности, на которой происходит теплообмен, выполняются неровности и выступы.
Литература
