Русская Википедия:Апериодическое звено
Апериодическое звено — понятие, относящееся к теории автоматического управления. Типовое динамическое звено.
Апериодическое звено первого порядка
Апериодическое звено первого порядка — одноемкостное, инерционное звено, которое можно описать дифференциальным уравнением:
- <math>a_1 \dot{y}(t) + a_0 y(t) = b_0 x(t)</math>.
К стандартному виду приводится делением на <math>a_0</math> правой и левой части уравнения:
- <math>T \dot{y}(t) + y(t) = k x(t)</math>,
где:
- <math>y(t)</math> — выходная величина;
- <math>x(t)</math> — входная величина;
- <math>k = \frac{b_0}{a_0}</math> — коэффициент усиления звена;
- <math>T = \frac{a_1}{a_0}</math> — постоянная времени, характеризующая инерционность звена. Чем больше постоянная времени звена, тем дольше длится переходный процесс.
Временные характеристики
- <math>h(t) = k (1 - \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}})</math>
- <math>w(t) = \frac{k}{T} \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}}</math>
Передаточная функция
Передаточная функция апериодического звена 1-го порядка получается путём применения к дифференциальному уравнению свойства дифференцирования оригинала преобразования Лапласа:
- <math>Ts Y(s) + Y(s) = k X(s)</math>,
- <math>Y(s)[Ts + 1] = X(s) k </math>.
- <math>W(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{Ts + 1}</math>
Комплексная передаточная функция получается при подставлении вместо <math>s</math> комплексной переменой <math>j\omega</math>.
Чтобы разделить на мнимую и действительную часть необходимо домножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное число <math>(1 - j\omega T)</math>:
- <math>W(j\omega)=\frac {k} {1 + j\omega T} \cdot \frac {1 - j\omega T}{1 - j\omega T}=\frac {k - j\omega T k}{1+\omega^2 T^2} = \frac {k}{1+\omega^2 T^2} - j\frac {\omega T k}{1+\omega^2 T^2}</math>
- <math>\mathrm {Re}\left\{W(j\omega)\right\} = \frac {k}{1+\omega^2 T^2}</math>
- <math>\mathrm {Im}\left\{W(j\omega)\right\} = - \frac {\omega T k}{1+\omega^2 T^2}</math>
АФЧХ
Амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной передаточной функции:
- <math>W(s) = \frac{2}{0.1s + 1}</math>
ЛАФЧХ
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для заданной выше передаточной функции.
Из амплитудной характеристики видно, что колебания частот <math>\omega < \frac {1}{T}</math> проходят через апериодическое звено 1-го порядка с отношением выходной и входной амплитуд близким к коэффициенту передачи звена <math>k</math>. Колебания частот <math>\omega > \frac {1}{T}</math> проходят со значительным уменьшением амплитуды, следовательно «плохо пропускаются» звеном. Чем меньше постоянная времени <math>T</math>, а следовательно, чем меньше инерционность звена, тем более растянута амплитудная характеристика вдоль оси частот и больше полоса пропускания частот данного звена. Аналогично, в случае фазовой характеристики, чем меньше постоянная времени <math>T</math>, тем более растянута фазовая характеристика вдоль оси частот и меньше фазовые сдвиги между выходными и входными колебаниями. Угол отставания с увеличением частоты растет, а амплитуда колебаний на выходе падает. Предельный угол отставания равен -π/2.
После подачи на вход возмущающего воздействия отклонение выходной величины будет изменяться по экспоненте с максимальной скоростью в начальный момент. Затем скорость уменьшается до нуля, а выходная величина достигает нового установившегося значения.[1]
В системах автоматического управления в качестве апериодического звена могут выступать двигатели постоянного тока, сопротивления и индуктивности, нагревательная камера, гидравлическая система с дросселем на выходе и др.
В целом считается, что почти любой объект управления в первом приближении, очень грубо, можно описать апериодическим звеном 1-го порядка.[2]
Апериодическое звено второго порядка
Уравнение апериодического звена 2-го порядка имеет вид
<math>T_2^2 \frac{d^2x_2}{dt^2} + T_1 \frac{dx_2}{dt} + x_2=kx_1</math>,
Передаточная функция апериодического звена 2-го порядка:
<math>W(s) = \frac{k}{T_2^2s^2 + T_1s + 1}</math>
Два последовательно соединенных апериодических звена 1-го порядка, могут быть представлены как апериодическое звено 2-го порядка с общим коэффициентом усиления.
Примеры применения
Одним из примеров апериодического звена первого порядка является RL – цепь, где входной величиной является напряжение U1, поступающее на цепь, а в качестве выходной величины может рассматриваться ток или напряжение U2 на сопротивлении R .В первом случае коэффициент передачи k = 1 / R, а во втором k = 1 Постоянная времени звена T = L / R.
Примечания
См. также
Литература
