Русская Википедия:Аргумент Экманна — Хилтона

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Аргумент Экманна — Хилтона — теорема о паре унитальных магм, одна из которых является гомоморфизмом для другой. В таком случае простое рассуждение показывает, что структуры магм совпадают и, более того, они является коммутативным моноидом. Назван в честь Экманна и Хилтона, использовавших его в своей статье 1962 года.

Наиболее известное приложение этой теоремы — доказательство того факта, что гомотопические группы любой топологической группы <math>G</math> абелевы. Например, для доказательства коммутативности <math>\pi_1(G,e)</math> достаточно рассмотреть произведение петель, индуцированное групповым умножением в <math>G</math> и воспользоваться аргументом Экманна — Хилтона.

Формулировка и доказательство теоремы

Шаблон:Теорема

Заметим, что единицы рассматриваемых магм совпадают: <math> 1_\circ = 1_\circ \circ 1_\circ 

              = (1_{\otimes} \otimes 1_\circ) \circ (1_\circ \otimes 1_\otimes)
              = (1_\otimes \circ 1_\circ) \otimes (1_\circ \circ 1_\otimes)
              = 1_\otimes \otimes 1_\otimes
              = 1_\otimes</math>.

Далее, пусть <math>a,b \in X</math>. Тогда <math>a \circ b = (1 \otimes a) \circ (b \otimes 1) 

                    = (1 \circ b) \otimes (a \circ 1)
                    = b \otimes a
                    = (b \circ 1) \otimes (1 \circ a)
                    = (b \otimes 1) \circ (1 \otimes a)
                    = b \circ a</math>. Таким образом, <math>\circ</math> и <math>\otimes</math> совпадают и являются коммутативными.

Наконец, проверим ассоциативность: <math>(a \otimes b) \otimes c = (a \otimes b) \otimes (1 \otimes c) = (a \otimes 1) \otimes (b \otimes c) = a \otimes (b \otimes c)</math>.

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Аргумент_Экманна_—_Хилтона&oldid=9019055